ตัวอย่างเต็มพื้นที่

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษา เต็มพื้นที่ซึ่งเป็นประเภทของพื้นที่เมตริก

พื้นที่เมตริกประกอบด้วยจุดคู่และฟังก์ชันของระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง ในช่องว่างเหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดลำดับ Cauchy ที่เกิดขึ้นจากระยะห่างระหว่างจุดสองจุดนี้ที่เล็กลงเรื่อยๆ เมื่ออยู่ในปริภูมิเมตริก เราไม่สามารถหาระยะทางที่เล็กกว่าในลำดับได้อีกต่อไป ดังนั้นเราจะมี a เต็มพื้นที่. ชุดตัวเลขปิด นั่นคือ ชุดที่มีขีดจำกัด เป็นช่องว่างที่สมบูรณ์

ตัวอย่างพื้นที่เต็ม:

เซตของจำนวนธรรมชาติรวมถึง 0 เป็นช่องว่างที่สมบูรณ์เนื่องจากเซตนี้ปิดท้าย 0 การแสดงชุดตัวเลขนี้คือ นู๋= [0, 1, 2,… n}.

ลองหาจุดสองจุดระหว่างสององค์ประกอบของเซตนี้ เช่น 4 และ 8 ซึ่งแสดงด้วยวิธีต่อไปนี้ p = (4, 8) ฟังก์ชันระยะทางระหว่างจุดสองจุดมีค่าเท่ากับ 4 ลำดับ Cauchy ถูกกำหนดโดยลำดับ {4, 3, 2, 1, 0} ที่มาบรรจบกัน 0.

อีกตัวอย่างหนึ่งคือเซตของจำนวนจริงบวกที่สร้างด้วย {0} ซึ่งแสดงเป็น และ⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. นู๋} เนื่องจากให้จุดสองจุดในพื้นที่นี้ ลำดับ Cauchy จะบรรจบกันเมื่อระยะทางเป็น 0

ชุดของจำนวนตรรกยะไม่ใช่ช่องว่างที่สมบูรณ์ เนื่องจากระยะทาง 0 (เลข 0 เป็นตัวเลขไม่ใช่ does มีอยู่ในชุดนี้) ซึ่งทำให้ลำดับ Cauchy ไม่มาบรรจบกัน ณ จุดใดในนี้ ชุด

ช่วงปิดใดๆ ของจำนวนธรรมชาติเป็นช่องว่างที่สมบูรณ์