Öklidyen Olmayan Geometrinin Tanımı

Temel olarak, Öklidyen olmayan geometriler, sözde geometrilerin sorgulanmasından ortaya çıkanlardır. Öklid'in 5. PostulatıBu nedenle, bir Yunan matematikçisi ve geometrisi olan ve çalışmaları dünya için paradigmatik olan Öklid'in çalışmalarının genel bir karakterizasyonu esastır. Geometri, kurucularından biri olarak kabul edilir. Kesin olarak bilinir güvenlik 300 yıllarında antik çağın kültürel odak noktası olan İskenderiye şehrinde yaşadı. C.

Onun işi Elementler 23 tanımlık bir listeden oluşan bir dizi “ilke” ile başlar; ardından 5 postulat gelir, rakamlar özellikle geometrik; ve diğer matematik disiplinlerinde ortak olan 5 genel aksiyom. Daha sonra, ilkelerden sonra, Öklid iki türden "önermeler" sunar:

bina cetvel ve pusula ile rakamlar; ve teoremler, bazılarının sahip olduğu özelliklerin gösterilmesine atıfta bulunur. geometrik şekiller.

Öklid'in beşinci varsayımı

O şunu belirtmektedir "Diğer iki düz çizginin üzerine düşen bir düz çizgi, aynı kenarın iç açılarını iki düz çizgiden daha küçük yapıyorsa, o zaman, eğer iki doğru sonsuza kadar uzarsa, açıların ikiden küçük olduğu tarafta buluşurlar. dümdüz”. Açılar doğru olsaydı, 23 numaralı tanıma göre bu tür çizgiler paralel olurdu ("Paralel doğrular, aynı düzlemdeyseler ve süresiz olarak uzarlarsa hiçbir yönde kesişmeyen doğrulardır.”).

Öncekilerden daha karmaşık olan bu postüla kendi içinde şüphe götürmez değildi: doğrular sınırsız olarak, açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişirdi, çünkü bunu ispatlamak mümkün olmazdı. bina. Ardından çizgilerin hiç kesişmeden süresiz olarak birbirine yaklaşma olasılığı açık bırakıldı.

Beşinci önermeyi kanıtlama girişimleri

Bu nedenle, Antik Çağ'dan 19. yüzyılın ortalarına kadar, beşinci önermeyi kanıtlamak için bir dizi başarısız girişim oldu: bir kanıt her zaman elde edildi; ama Öklid'inkinden farklı olarak (mantıksal olarak beşinciye eşdeğer) başka bir ek postüla tanıtmak. Yani, beşinci önerme kanıtlanamadı, ancak eşdeğeri ile değiştirildi.

Bunun bir örneği, John Playfair'in (s. XVIII): “Bu doğruya paralel tek bir nokta, aynı düzlemde bulunan bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçer.” (“olarak bilinir”paralel varsayım”). Öklidyen olmayan geometriler, tam olarak Öklid sisteminin beşinci önermesini kanıtlamaya yönelik başarısız girişimlerden doğar.

Saccheri'nin saçmalık testi

1733'te İtalyan matematikçi Girolamo Saccheri, Öklid'in beşinci önermesinin saçmalığını kanıtlamaya çalıştı. Bunu yapmak için bir dörtgen yaptı ("olarak bilinir"Saccheri'nin dörtgeni”, burada bir çift açı dik açıdır) ve beşinci postülatın şu önermeye eşdeğer olduğunu belirtti. karakteristik açılar (dik açı çiftinin karşısındakiler) o dörtgenin de dik açılarıdır. o zaman üç tane var hipotez mümkün, birbirini dışlayan: iki karakteristik açının dik, dar veya geniş olması. Beşinci önermeyi absürt ile kanıtlamak için kanıtlamak gerekiyordu (beşinci önermeye başvurmadan). geniş ve dar açı hipotezlerinin çelişki içerdiğini ve bu nedenle YANLIŞ.

Saccheri, geniş açı hipotezinin çelişkili olduğunu kanıtlamayı başardı, ancak dar açı durumunda başarılı olamadı. Aksine, Öklid geometrisiyle uyumlu ve uyumsuz bir dizi teorem çıkardı. Sonunda, bu teoremlerin tuhaflığı göz önüne alındığında, hipotezin yanlış olması gerektiği sonucuna vardı. Sonuç olarak, beşinci önermenin saçma olduğunu kanıtladığına inanıyordu; bununla birlikte yaptığı şey, istemeden Öklidyen olmayan geometrinin önemli bir teorem setini kanıtlamak oldu.

Öklidyen olmayan geometrilerin “eşzamanlı” keşfi

Carl F. On dokuzuncu yüzyılda Gauss, beşinci postülatın diğer dördünden kanıtlanamayacağından şüphelenen ilk kişiydi (yani, bağımsız olarak) ve dört Öklid postülasına ve beşinci. Keşfini asla yayınlamadı: bu bir vaka olarak kabul edilir. eşzamanlı keşif, çünkü üç bağımsız referansı vardı (Gauss'un kendisi, János Bolyai ve Nikolai Lobachevsky).

inkar beşinci kanun Euclidean'ın ifadesi iki olasılığı ifade eder (Playfair'in eşdeğer formülasyonunu alarak): düz bir çizginin dışındaki bir noktadan, ya paralel geçiş yok ya da birden fazla paralel geçiş. Öklidyen olmayan geometriler arasında, örneğin geometriyi buluyoruz "hayali” Lobachevsky tarafından, —daha sonra“ olarak anılacaktır.hiperbolik"- buna göre, "Bir doğruya bir dış nokta verildiğinde, kesişen sonsuz doğrular, kesişmeyen sonsuz doğrular ve bu noktadan sadece iki paralel doğru geçer.”, benzersiz Öklid paralelinden farklı olarak; veya Bernhard Riemann'ın eliptik geometrisi, ki "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan o doğruya paralel geçemez.”.

Uygulamalar ve keşfin sonuçları

Günümüzde yerel uzayda her iki geometrinin de yaklaşık sonuçlar verdiği bilinmektedir. Farklılıklar, büyük mesafeler göz önüne alındığında, fiziksel alan bir geometri veya başka bir şekilde tanımlandığında ortaya çıkar. Öklid geometrisini kullanmaya devam etmemize rağmen, uzayımızı yerel ölçekte en basit şekilde tanımlayan şey olduğu için, keşif Öklidyen olmayan geometriler, hakikatlerin anlaşılmasında radikal bir dönüşüm anlamına geldiği ölçüde belirleyiciydi. ilmi.

O zamana kadar Öklid geometrisinin uzayı gerçekten tanımladığı düşünülüyordu. Onu başka bir geometri aracılığıyla, başka postülalarla tanımlama olasılığını kanıtlarken, şu ya da bu açıklamayı varsaymanın mümkün olduğu kriterleri yeniden düşünmek gerekiyordu.doğru”.

bibliyografya

MARTINEZ LORCA, A. (1980) “Sokrates'in etiği ve düşünce Occidental”, Revista Baética'da: Estudios de Arte, Coğrafya ve Tarih, 3, 317-334. Malaga Üniversitesi.

Öklid Dışı Geometri Konuları