Maxwell Denklemleri nelerdir ve nasıl tanımlanır?

Melek Zamora Ramirez | Temmuz. 2022
fizik derecesi

Bu denklemlerden önce, elektrik ve manyetik kuvvetlerin "uzaktaki kuvvetler" olduğu söylenirdi, bu tür bir etkileşimin gerçekleşeceği herhangi bir fiziksel yol bilinmiyordu. üzerinde uzun yıllar süren araştırmalardan sonra elektrik Y manyetizmaMichael Faraday, yükler ve elektrik akımları arasındaki boşlukta, bunların birbirleriyle etkileşime girmesine ve tüm Bilinen elektriksel ve manyetik fenomenler, ilk başta bunlara “kuvvet çizgileri” olarak atıfta bulundu ve bu da bir elektromanyetik alanın varlığı fikrine yol açtı.

Faraday'ın fikrini temel alan James Clerk Maxwell, dört kısmi diferansiyel denklemle temsil edilen bir alan teorisi geliştirir. Maxwell buna "elektromanyetik teori" adını verdi ve bu tür matematiksel dili fiziksel bir teoriye dahil eden ilk kişi oldu. Maxwell'in vakum için diferansiyel formdaki denklemleri (yani, dielektrik ve/veya polarize edilebilir malzemelerin yokluğunda) aşağıdaki gibidir:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\kısmi \vec{E}}{\kısmi t}\)
Diferansiyel formda vakum için Maxwell denklemleri

Burada \(\vec{E}~\)elektrik alan, \(\vec{B}~\)manyetik alan, \(\rho ~\) elektrik şarjı, \(\vec{J}~~\)bir ile ilişkili bir vektördür elektrik akımı, \({{\epsilon }_{0}}~\)bir boşluğun elektriksel geçirgenliğidir ve \({{\mu }_{0}}~~\)bir boşluğun manyetik geçirgenliğidir. Bu denklemlerin her biri bir yasa elektromanyetizmanın bir anlamı vardır. Aşağıda her birini kısaca açıklayacağım.

Gauss yasası

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Elektrik alanı için Gauss yasası

Bu ilk denklemin bize söylediği, elektrik yüklerinin elektrik alanının kaynakları olduğudur, bu elektrik alanı doğrudan yüklerden "farklıdır". Ayrıca, elektrik alanın yönü, onu üreten elektrik yükünün işaretiyle belirlenir ve alan çizgilerinin ne kadar yakın olduğu, alanın kendisinin büyüklüğünü gösterir. Aşağıdaki resim biraz önce bahsedilenleri özetlemektedir.

Çizim 1. Studiowork'ten.- Biri pozitif ve biri negatif olmak üzere iki nokta yükün oluşturduğu elektrik alanlarının diyagramı.

Bu yasa adını, onu diverjans teoremine dayanarak formüle eden matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss'a borçludur.

Manyetik alan için Gauss yasası

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Manyetik alan için Gauss yasası

Bu yasanın belirli bir adı yoktur, ancak bir önceki denkleme benzerliği nedeniyle bu adla anılır. Bu ifadenin anlamı, "elektrik yüküne" benzer bir "manyetik yük" olmadığı, yani manyetik alanın kaynağı olan manyetik monopollerin olmadığıdır. Bir mıknatısı ikiye bölersek, hem kuzey hem de güney kutbu olan iki benzer mıknatısa sahip olmamızın nedeni budur.

Faraday Yasası

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faraday'ın indüksiyon yasası

Bu, Faraday tarafından 1831'de değişen manyetik alanların elektrik akımlarını indükleyebildiğini keşfettiğinde formüle ettiği ünlü indüksiyon yasasıdır. Bu denklemin anlamı, zamanla değişen bir manyetik alanın indükleme yeteneğine sahip olmasıdır. etrafında bir elektrik alanı, bu da elektrik yüklerinin hareket etmesine ve bir aktarım. Bu ilk başta çok soyut gelse de, Faraday yasası motorların, elektro gitarların ve indüksiyonlu ocakların işleyişinin arkasındadır.

Ampere-Maxwell yasası

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\kısmi \vec{E}}{\kısmi t}\)

Bu denklemin bize söylediği ilk şey, elektrik akımlarının akımın yönü etrafında manyetik alanlar oluşturduğu ve bunun üretilen manyetik alanın büyüklüğü bunun büyüklüğüne bağlıdır, Oersted'in gözlemlediği şey buydu ve daha sonra Ampère bunu başardı. formüle etmek. Ancak bu denklemin arkasında merak edilen bir şey var ve o da yandaki ikinci terimin yasa Maxwell tarafından tanıtıldı çünkü bu ifade başlangıçta tutarsızdı. özellikle diğerleriyle birlikte, elektrik yükünün korunumu yasasının ihlaline yol açtı. Bundan kaçınmak için Maxwell basitçe bu ikinci terimi tanıttı, böylece tüm teorisi tutarlı olacaktı, bu terim "yer değiştirme akımı" adını aldı ve o sırada bunu destekleyecek hiçbir deneysel kanıt yoktu. yedeklenecek

2. çizim De Rumruay.- Bir kablodan geçen elektrik akımı, Ampère Yasasına göre çevresinde bir manyetik alan oluşturur.

Yer değiştirme akımının anlamı, aynı şekilde bir manyetik alan değişken bir elektrik alanı indükler, zamanla değişen bir elektrik alanı bir alan üretebilir manyetik. Yer değiştirme akımının ilk deneysel doğrulaması, 1887'de Heinrich Hertz tarafından elektromanyetik dalgalar, teorisinin yayınlanmasından 20 yıldan fazla bir süre sonra Maxwell. Ancak, yer değiştirme akımının ilk doğrudan ölçümü M. R. Van Cauwenberghe, 1929'da.

ışık bir elektromanyetik dalgadır

Maxwell denklemleri tarafından yapılan ilk akıllara durgunluk veren tahminlerden biri, elektromanyetik dalgalar, ama sadece bu değil, ışığın da bunun bir dalgası olması gerektiğini ortaya çıkardılar. Tip. Bunu biraz görmek için Maxwell denklemleriyle oynayacağız, ancak ondan önce, herhangi bir dalga denkleminin formu:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Üç boyutlu bir dalga denkleminin genel biçimi.

Burada \({{\nabla }^{2}}\) Laplacian operatörü, \(u\) bir dalga fonksiyonu ve \(v\) dalganın hızıdır. Ayrıca boş uzayda, yani elektrik yüklerinin ve elektrik akımlarının yokluğunda, sadece elektrik ve manyetik alanlarda Maxwell denklemleriyle çalışacağız:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Ve ayrıca aşağıdakileri kullanacağız Kimlik vektör hesabı:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \sağ)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \sağ)-{{\nabla }^{2}} \zaman{A}\)

Yukarıdaki boş uzay için Maxwell denklemlerini kullanarak bu özdeşliği elektrik ve manyetik alanlara uygularsak, aşağıdaki sonuçları alırız:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\kısmi {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\kısmi {{t}^{2}}}\)

Bu denklemlerin yukarıdaki dalga denklemiyle benzerliğine dikkat edin. çözüm, elektrik ve manyetik alanlar dalgalar (elektromanyetik dalgalar) gibi davranabilir. Bu dalgaların hızını \(c\) olarak tanımlarsak ve bu denklemleri yukarıdaki dalga denklemi ile karşılaştırırsak hızın şöyle olduğunu söyleyebiliriz:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) ve \({{\epsilon }_{0}}\) sırasıyla vakumun manyetik geçirgenliği ve elektriksel geçirgenliğidir ve her ikisi de sabittir değerleri \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) ve \({{\) olan evrenseller epsilon } 0}}=8.8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), bu değerleri değiştirerek, \(c\) değerinin \(c=299,792,458\frac{m}{s}\yaklaşık 300.000~km/s\) olduğunu elde ederiz, bu da tam olarak ışık.

Bu küçük analizle çok önemli üç sonuca varabiliriz:

1) Elektrik ve manyetik alanlar dalgalar gibi davranabilir, yani boşlukta da yayılabilen elektromanyetik dalgalar vardır.

2) Işık, hızı manyetik geçirgenliğe ve geçirgenliğe bağlı olan bir elektromanyetik dalgadır. İçinde yayıldığı ortamın, boş uzayda ışığın hızı yaklaşık olarak 300.000 km/sn.

3) Manyetik geçirgenlik ve elektriksel geçirgenlik evrensel sabitler olduğundan, ışık hızı da evrensel bir sabittir, ancak bu aynı zamanda değerinin nın-nin çerçeve hangisinden ölçülür.

Bu son açıklama o zamanlar oldukça tartışmalıydı. Işık, onu ölçen kişinin ve ışık kaynağının hareketinden bağımsız olarak aynıdır. ışık? Bir şeyin hızı göreceli olmalı, değil mi? Bu, zamanın fiziği için bir dönüm noktasıydı ve bu basit ama derin gerçek, 1905'te Albert Einstein tarafından Özel Görelilik Teorisi'nin geliştirilmesine yol açtı.