İşlem Hiyerarşisi nedir?

İşlemler hiyerarşisi, birleşik hesaplama eylemlerinin gerçekleştirilme sırasını belirleyen matematiksel bir kuraldır. aynı matematiksel ifade, yani matematiksel işlemlerin (toplama, çıkarma, çarpma, bölme, kuvvetler ve kökler) birleştirildiğinde, bir sonuca ulaşmak için bunların belirli bir sırada yapılması gerekir. yaygın.

Peki neden bir hiyerarşiye ihtiyaç var? Buna cevap verebilmek için öncelikle bir kümenin elemanlarına uygulanan bir dönüşümden oluşan matematiksel işlemlerin doğasını iyi anlamamız gerekir. Örneğin, gerçek sayılar kümesini, yani hepimizin bildiği sayıları düşünelim. Bir a sayısını alıp başka bir b sayısıyla toplarsak, aynı gerçek sayılar kümesine ait başka bir c sayısı elde ederiz, yani:

a+b = c

Ek olarak, eklerin sunulma sırası nihai sonucu etkilemez, yani a+b = b+a, bu özellik değişmelilik olarak adlandırılır. Toplama hakkında konuşmak önemlidir, çünkü diğerlerinin türetildiği temel işlemdir. Çarpma, tekrarlanan bir dizi toplamadan başka bir şey değildir. Yine bir a sayımız varsa ve onu bir b sayısıyla çarparsak, yaptığımız şey bazen b sayısını kendisiyle toplamak veya alternatif olarak b çarpı a sayısını kendisiyle toplamaktır. İkincisi, çarpma toplama gibi değişmeli olduğu için, bu şu anlama gelir:

a⋅b = b⋅a. Yukarıda belirtilenler şu şekilde ifade edilebilir:

Bunu bir örnekle kolayca görselleştirebiliriz. 5×2 çarpma işlemini yapalım:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Şimdi, toplama ile çarpmayı birleştirdiğimiz bir işlem yapmamız gerekirse ne olur? Örneğin: a⋅b+c. Toplama ve çarpma işlemleri hangi sırayla yapılmalıdır? Hangi işlemi tercih etmeliyiz? Önce çarpma işlemini gerçekleştirir ve bunu bir toplam olarak geliştirirsek, şunu elde ederiz:

Şimdi, önce toplamayı sonra çarpmayı yaparsak şunu elde ederiz:

Toplama değişmeli olduğu için denklemin sağ tarafını yeniden toplayarak şunu elde edebiliriz:

Her iki durumda elde edilen sonuçların karşılaştırılması, şunu fark etmek kolaydır:

O halde operasyonların gerçekleştirilmesine karar verilen sıranın elde edilen sonucu etkilediği sonucuna varıyoruz. Güçleri dahil ettiğimizde de aynı şey olur. Bir b sayısını bir c kuvvetine yükselttiğimizde, yaptığımız şey c ile b sayısını kendisiyle çarpmaktır, yani:

Şimdi çarpma ve a⋅b kuvvetini içeren aşağıdaki birleşik işlemi gerçekleştirmeye devam ediyoruz.^C önceki durumda yaptığımız gibi farklı bir sırayla. Önce güce öncelik verirsek, elimizde:

Şimdi, önce çarpmayı, sonra kuvveti yaparsak, şunu elde ederiz:

Çarpmanın değişme özelliğinden yararlanarak denklemin sağ tarafını şu şekilde yeniden gruplandırabiliriz:

Yine, aşağıdakileri gerçekleştirmek için işlemleri farklı bir sırayla gerçekleştirerek elde edilen sonuçları karşılaştırabiliriz:

Ayrıca bu durumda işlemlerin gerçekleştirilme sırası elde edilen sonucu etkiler. Peki, operasyonların yapılması gereken sıra nedir? İşlemler hiyerarşisi, güçlerin, matematiksel bir ifadede öncelikleri olacak şekilde, çarpmalardan daha yüksek bir hiyerarşi seviyesinde olduğunu belirler. Buna karşılık, çarpmalar, toplamalardan daha yüksek bir hiyerarşi düzeyine sahiptir.

Peki ya çıkarma, bölme ve kökler? Çıkarma, toplama işleminin tersidir, a sayısından b sayısını çıkardığımızda, c+b=a olacak şekilde başka bir c sayısı elde ederiz. Bölme ve çıkarmada da benzer bir şey olur. a sayısını b sayısına bölersek ve sonuç olarak c sayısını elde edersek b⋅c=a olacak şekilde bir sayı bulmuş oluruz. Ve son olarak, bir a sayısının kök b'sini hesaplayarak bir c sayısı buluruz, öyle ki c^B= bir. Bu eşdeğerlikler, sırasıyla toplama, çarpma ve güç ile aynı hiyerarşi seviyesinde çıkarma, bölme ve kök koyar.

Parantez ve parantez uygulamaları

Şimdi, hiyerarşi seviyesinden bağımsız olarak bir matematiksel ifadede bazı işlemlere öncelik vermek istersek ne olur? Bunu yapmak için parantezler ve köşeli parantezler kullanılır. a⋅b+c ilkesinin ifadesine sahip olduğumuzu varsayalım. Daha önce söylediklerimizle, önce çarpmayı sonra toplamayı yapmamız gerektiğini zaten biliyoruz. Peki ya bunun böyle olmamasını istiyorsak? Bunu yapmak için, toplamayı çarpmadan ayırmak için parantez veya köşeli parantez kullanmamız ve böylece önce toplamayı hesaplamaya, yani: a⋅(b+c)'ye öncelik vermemiz gerekir. Bu, parantezler ve köşeli parantezlerle ayrılmış ifadelerin diğer tüm işlemlere göre en yüksek önceliğe sahip olmasına neden olur.

Yukarıda belirtilen her şeyle birlikte, operasyonların hiyerarşisi veya gerçekleştirilmeleri gereken sıra şu şekildedir:

1) Parantezler ve parantezler
2) Yetkiler ve kökler
3) Çarpma ve bölme
4) Toplama ve çıkarma

Referanslar

H. Benke, F. Bachman, K. Flatt, W. Süs, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Seçici, H. Rau ve S. H. Gould. (1983). Matematiğin Temelleri: Cilt I. Cambridge, Massachusetts ve Londra: MIT Press.