İkinci dereceden Fonksiyon Tanımı

Formu ifade edilen gerçek bir değişkenin ikinci dereceden bir işlevi.

\(f\left( x \sağ) = a{x^2} + bx + c\)

Değişkenin \(x\) olduğu yerde, \(a, b\) ve c, ikinci dereceden fonksiyonun \(a \ne 0.\) katsayıları olarak adlandırılan gerçek sabitlerdir.

Tablo, daha sonra gerçek problemlerden doğrudan uygulamalarını göstermek için ikinci dereceden fonksiyonların genel örneklerini ve modelleyebilecekleri durumu ilerletir.

İkinci dereceden fonksiyon	Modelleyebileceğiniz durum
\(f\sol( x \sağ) = {x^2}\)	\(y\) değişkeni, kenarı \(x\) olan bir karenin alanıdır.
\(f\sol( x \sağ) = \pi {x^2}\)	\(y\) değişkeni, yarıçapı \(x\) olan bir dairenin alanıdır.
\(f\left( x \sağ) = 100 – 4,9{x^2}\)	\(y\) değişkeni 100 metre yükseklikten bırakılan bir cismin yüksekliği, \(x\) ise geçen zamandır.
\(f\left( x \sağ) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \sağ) x – 4,9{x^2}\)	\(y\) değişkeni 45° açıyla 60 m/s hızla atılan bir güllenin yüksekliği ve \(x\) geçen zamandır.

Genel formül ve ikinci dereceden işlev

\(x = \alpha \) için ikinci dereceden fonksiyon sıfır ise, o zaman sayı \(\alpha \) ikinci dereceden fonksiyonun kökü olarak adlandırılır, evet, \(\alpha \) ikinci dereceden denklemin çözümüdür

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

İkinci dereceden denklemleri çözmek için sahip olduğumuz genel formül, ikinci dereceden bir fonksiyonun kökleridir:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Yukarıdakilerden, ikinci dereceden işlevin kökleri ve katsayıları arasında aşağıdaki ilişki kurulur:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Dikkate değer ürünler aracılığıyla aşağıdaki kimlik oluşturulur:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \sağ)\left( {x – \beta } \sağ)\)

Genel formülde belirlenene benzer bir şekilde, ikinci dereceden fonksiyonun şu şekilde ifade edilebileceği tespit edilmiştir:

\(f\left( x \sağ) = a{\left( {x – h} \sağ)^2} + k\)

\(h = – \frac{b}{{2a}}\) ve \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\) ile

Denklemi çözerek:

\(a{\left( {x – h} \sağ)^2} + k = 0\)

Elde edildi:

\(\left| {x – h} \sağ| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Yukarıdakilerden, yalnızca \(k\) sabitleri ve \(a\) zıt işaretler, bu ikinci dereceden fonksiyonun gerçek kökleri vardır, bunlar: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

\(k\) ve \(a\) sabitleri aynı işarete sahipse, ikinci dereceden işlevin gerçek kökleri yoktur.

\(k = 0,\;\;\) olduğunda, ikinci dereceden fonksiyonun yalnızca bir kökü vardır.

Gerçek hayata uygulanan örnekler

Uygulama örneği 1: Ekonomi

Bir okul, her takımın diğer takımlarla sadece bir kez oynadığı bir futbol turnuvası düzenlemek istiyor. Tahkim maliyeti oyun başına 200$ ise, tahkim maliyeti için 15.600$'lık bir bütçe vardır. Turnuvaya kaç takım kayıt yaptırabilir?

Problem bildirimi: \(n\)'ye sahip olduğumuzda eşleşme sayısını hesaplayan bir fonksiyon bulmalıyız. takımları saymak için 1. takımın diğerleriyle ilk oynadığını varsayacağız, yani \(n – 1\) maçlar. 2. Takım şimdi geri kalanlarla, yani \(n – 2\) ile oynayacak, çünkü zaten 1. takımla oynamış olacaklar. 3. Takım zaten 1. ve 2. takımlarla oynamış olacak, dolayısıyla n-3 takımlarla oynamak zorunda kalacaklar.

Yukarıdaki mantıkla şu sonuca varıyoruz:

\(f\left( n \sağ) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \sağ) = \frac{{n\left( {n – 1} \sağ)}}{2}\)

Maliyet fonksiyonu:

\(C\left( n \sağ) = 200f\left( n \sağ) = 100n\left( {n – 1} \sağ)\)

15.600 dolarlık bir bütçeye sahip olduğumuz için şu denkleme sahibiz:

\(100n\sol( {n – 1} \sağ) = 15600\)

denklemin çözümü

\(100n\left( {n – 1} \sağ) = 15600\) Başlangıç ​​durumu
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Denklemin her bir tarafını 100'e bölün
\({n^2} – n – 156 = \) Denklemin her iki tarafına \( – 156\) ekleyin
\(\left( {n – 13} \sağ)\left( {n + 12} \sağ) = 0\) \(\left( { – 13} \sağ)\left( {12} \sağ) ) = – 156\) ve \( – 13 + 12 = – 1\)
Faktoring oldu.
Denklemin çözümleri \(n = – 12,\;13\)
Cevap: Bütçe 13 takımın kayıt olması için yeterlidir.

Uygulama örneği 2: Ekonomi

Bir büyükşehir ulaşım otobüsü şirketi, sekiz saatlik bir günde her otobüsünün ortalama bin yolcu taşıdığını gözlemledi. İşçilerinize zam yapabilecek bir konumda olmak için, şu anda 5 ABD doları olan ücretinizi artırmanız gerekir; Bir ekonomist, ücreti artan her bir peso için, her kamyonun her gün ortalama 40 yolcu kaybedeceğini hesaplıyor. Şirket, maaş artışını karşılamak için her gün kamyon başına ek 760$ alması gerektiğini hesaplamıştır.Ücret ne kadar artmalıdır?

Problemin ifadesi: Biletin yükseleceği peso miktarı \(x\) olsun ve bunun için \(5 + x\) biletin yeni maliyeti olsun. Aynı artışla her tır, günde ortalama \(1000 – 40x\) yolcu taşıyacak.

Son olarak, kamyon başına gelir:

\(I\left( x \sağ) = \left( {5 + x} \sağ)\left( {1000 – 40x} \sağ) = – 40\left( {x + 5} \sağ)\left( {x – 25} \sağ)\)

Maaş artışını karşılayabilmek için her otobüsün toplaması gereken miktar: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

Sonunda denklemimiz var:

\( – 40\left( {x + 5} \sağ)\left( {x – 25} \sağ) = 5760\)

denklemin çözümü
\( – 40\left( {x + 5} \sağ)\left( {x – 25} \sağ) = 5760\) Başlangıç ​​durumu
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Denklemin her bir tarafını \( – 40\) ile bölün
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Olağanüstü ürün geliştirildi
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) Her birine 144 eklendi
\(\left( {n – 19} \sağ)\left( {n – 1} \sağ) = 0\) \(\left( { – 19} \sağ)\left( { – 1} \ sağ) = 19\) ve \( – 19 – 1 = – 20\)
çarpanlara ayrılmış
Denklemin çözümleri \(n = 1.19\)
Cevap: Bilet fiyatı 1$ veya 19$ pesoya çıkabilir.

Uygulama örneği 3: Ekonomi

Bir ekmek dükkanı, tanesi 6 dolardan haftada ortalama 1.200 ekmek satıyor. Bir gün fiyatı parça başına 9 dolara yükseltmeye karar verdi; şimdi satışları düştü: haftada yalnızca ortalama 750 rulo satıyor. Satış noktasının gelirinin mümkün olan en yüksek olması için her bir topuzun fiyatı ne olmalıdır? Talep ve fiyat arasında doğrusal bir ilişki olduğunu varsayalım.

Problem bildirimi: D talebi ile fiyat \(x,\) arasında doğrusal bir ilişki olduğunu varsayarsak, o zaman

\(D = mx + b\)

Denklemi oluşturan \(x = 6;D = 1200;\;\) olduğunda:

\(1200 = 6m + b\)

\(x = 9;D = 750;\;\) lo olduğunda ve denklem elde edildiğinde:

\(750 = 9m + b\)

Denklem sistemini çözerek, talep ve fiyat arasındaki ilişki şöyledir:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\left( {x – 14} \sağ)\)

Gelir eşittir

\(I\left( x \sağ) = Dx = – 150x\left( {x – 14} \sağ)\)

Çözüm

Aşağıya doğru açılan ve en yüksek değerine tepe noktasında ulaşılan bir paraboldeki gelir grafiği modelleyen ikinci dereceden fonksiyonun köklerinin ortalaması alınarak bulunabilir. gelir. Kökler \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \sağ) = – 150\left( 7 \sağ)\left( {7 – 14} \sağ) = 7350\)

Cevap

Maksimum gelir 7.350$'dır ve 7$'lık bir fiyatla elde edilir; haftada ortalama 1050 rulo satıyor.

Uygulama örneği 4: Ekonomi

Bir günde \(n\) sandalye üretmenin maliyeti ikinci dereceden fonksiyonla hesaplanabilir:

\(C\left( n \sağ) = {n^2} – 200n + 13000\)

Ulaşılabilecek minimum maliyeti belirleyin.

Sorun bildirimi

\(C\left( n \right)\) grafiği yukarı doğru açılan ve minimum noktasına \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\) noktasında ulaşacak bir paraboldür. sol( { – 200} \sağ)}}{{2\left( 1 \sağ)}} = 100\)

\(C\left( {100} \sağ) = {\left( {100} \sağ)^2} – 200\left( {100} \sağ) + 13000 = 3000\)

Cevap

Mümkün olan en düşük maliyet 3000 $'a eşittir ve 100 sandalye üreterek elde edilir.

Uygulama Örneği 5: Geometri

Bir eşkenar dörtgenin alanı 21 cm2'dir; Köşegenlerinin uzunlukları toplamı 17 cm olduğuna göre eşkenar dörtgenin köşegenlerinin uzunluğu kaç cm'dir?

Problem bildirimi: Bir eşkenar dörtgenin alanı şu şekilde hesaplanır:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Köşegen uzunlukları \(D\) ve \(d\) ile de bilinir:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

İkame ederek şunları elde edersiniz:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \sağ) d}}{2}\)

Sonunda denklemi elde ederiz

\(\frac{{\left( {17 – d} \sağ) d}}{2} = 21\)

Çözüm
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Başlangıç ​​durumu
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Denklemin her bir tarafını \( – 40\) ile çarpın
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Ürün geliştirildi.
\(\left( {d – 14} \sağ)\left( {d – 3} \sağ) = 0\) \(\left( { – 14} \sağ)\left( { – 3} \ sağ) = 42\) ve \( – 14 – 3 = – 17\)
çarpanlara ayrılmış
Denklemin çözümleri \(d = 3.14\)
Cevap:

Eşkenar dörtgenin köşegenleri 14 cm ve 3 cm'dir.

Uygulama Örneği 6: Geometri

Tavuk kümesinin tabanını oluşturacak oldukça uzun bir çitten yararlanılarak 140 m2'lik dikdörtgen bir kümes yapılması istenmektedir. Diğer üç tarafı 34 metrelik tel örgü ile örülecek, toplam filenin kullanılması için kümes uzunluğu ve genişliği ne kadar olmalıdır?

Aynı koşullar altında, aynı ağ ile çitlenebilecek maksimum alan nedir?

Problem Durumu: Diyagrama göre alan şuna eşittir:

\(A\left( x \sağ) = x\left( {34 – 2x} \sağ) = 2x\left( {17 – x} \sağ)\)

Burada \(x\), çite dik olan kenarın uzunluğudur.

Dikdörtgenin 140 m2 alana sahip olacak şekilde ölçülerini bilmek için denklemi çözmek yeterlidir.

\(2x\sol( {17 – x} \sağ) = 140\)

\(A\left( x \right)\) grafiği, alanın maksimum değerini hesaplamak için aşağı doğru açılan bir parabol olduğundan, parabolün tepe noktasını hesaplamak yeterlidir.

Yanıtlar
Alanı 140 m2 olan dikdörtgenin ölçüleri
Çite dik olan tarafın uzunluğu

\(x\) Perdeye paralel kenarın uzunluğu

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Tepe noktasının ilk koordinatı \(h = \frac{{17}}{2}\) ve

\(A\left( h \sağ) = \frac{{289}}{2}\)

Dikey kenar \(\frac{{17}}{2}\;\)m ve paralel kenar 17m olduğunda alan maksimumdur, 17m uzunluğundadır, ulaşılan maksimum alan değeri \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği

Geometrik açıdan kökler, bir fonksiyonun grafiğinin \(x\) eksenini kestiği noktalardır.

ifadeden

\(f\left( x \sağ) = a{\left( {x – h} \sağ)^2} + k,\)

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin genel şeklini oluşturacağız.

Birinci durum \(a > 0\) ve \(k > 0\)

\(f\left( x \sağ) = a{\left( {x – h} \sağ)^2} + k\)

\(X\)	\(f\sol( x \sağ)\)
\(h – 1\)	\(bir + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(bir + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Bu durumda grafik aşağıdakileri sağlar:

Simetrik: Simetri ekseni ile \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Yani \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \sağ)\)

\(x\) ekseninin üzerindedir ve onu kesmez. Yani \(f\left( x \right) > 0\)'nin reel kökü yoktur.

Grafikteki en alçak nokta \(\left( {h, k} \right)\) noktasındadır. Bu, \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

İkinci durum \(a < 0\) ve \(k < 0\)

\(f\left( x \sağ) = a{\left( {x – h} \sağ)^2} + k\)

\(X\)	\(f\sol( x \sağ)\)
\(h – 1\)	\(bir + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Bu durumda grafik aşağıdakileri sağlar:

Simetrik: Simetri ekseni ile \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Yani \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \sağ)\)

\(x\) ekseninin altındadır ve onu kesmez. Yani \(f\left( x \right) < 0\)'nin gerçek kökü yoktur. Grafikteki en yüksek nokta \(\left( {h, k} \right)\) noktasındadır. Yani \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Üçüncü durum \(a > 0\) ve \(k \le 0\).

Bu durum birinci duruma benzer, fark şu ki artık bir gerçek kökümüz (\(k = 0\) olduğunda) veya iki gerçek kökümüz var.

Bu durumda grafik aşağıdakileri sağlar:

Simetrik: Simetri ekseni ile \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Yani \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \sağ)\)

\(x\) eksenini keser, yani en az bir gerçek kökü vardır.

Grafikteki en alçak nokta \(\left( {h, k} \right)\) noktasındadır. Bu, \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Dördüncü durum \(a < 0\) ve \(k \ge 0\). Bu durum ikinci duruma benzer, fark şu ki artık bir gerçek kökümüz (\(k = 0\) olduğunda) veya iki gerçek kökümüz var. Bu durumda grafik aşağıdakileri sağlar:

Simetrik: Simetri ekseni ile \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Yani \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \sağ)\)

Grafikteki en alçak nokta \(\left( {h, k} \right)\) noktasındadır. Bu, \(f\left( x \sağ) \le f\left( h \sağ) = k\)

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğine parabol denir ve vurgulanacak öğeleri simetri ekseni, kesiştiği noktalardır. bağlı olarak fonksiyonun grafiğinde en düşük veya en yüksek noktasına ulaştığı nokta olan \(x\) eksenine ve tepe noktasına dava.

Yapılan analize dayanarak şunları söyleyebiliriz:

İkinci dereceden işlev \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) ile ilişkilendirilen parabolün tepe noktası \(\left( {h, k} \right)\) konumundadır; burada :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

örnekler

İkinci dereceden işlev \(y = {x^2}\)	önemli unsurlar
parabolün tepe noktası	\(\sol( {0,0} \sağ)\)
Parabolün simetri ekseni	\(x = 0\)
\(x\) ekseni ile kesmeler	\(\sol( {0,0} \sağ)\)

İkinci dereceden işlev \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	önemli unsurlar
parabolün tepe noktası	\(\sol( {2,0} \sağ)\)
Parabolün simetri ekseni	\(x = 2\)
\(x\) ekseni ile kesmeler	\(\sol( {2,0} \sağ)\)

İkinci dereceden işlev \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	önemli unsurlar
parabolün tepe noktası	\(\sol( { – 2, – 4} \sağ)\)
Parabolün simetri ekseni	\(x = – 2\)
\(x\) ekseni ile kesmeler	\(\left( { – 4,0} \sağ);\left( {0,0} \sağ)\)

İkinci dereceden işlev \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	önemli unsurlar
parabolün tepe noktası	\(\sol( {9,8} \sağ)\)
Parabolün simetri ekseni	\(x = 9\)
\(x\) ekseni ile kesmeler	\(\left( {5,0} \sağ);\left( {13,0} \sağ)\)

İkinci dereceden işlev \(y = {x^2} + 1\)	önemli unsurlar
parabolün tepe noktası	\(\sol( {0,1} \sağ)\)
Parabolün simetri ekseni	\(x = 0\)
\(x\) ekseni ile kesmeler	Bulunmamaktadır

İkinci dereceden işlev \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	önemli unsurlar
parabolün tepe noktası	\(\sol( {2, – 1} \sağ)\)
Parabolün simetri ekseni	\(x = 2\)
\(x\) ekseni ile kesmeler	Bulunmamaktadır

İkinci dereceden bir fonksiyonun gerçek kökleri varsa, bunlarla ilişkili parabolün grafiğini çizebiliriz. Varsayalım ki \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Bunun için aşağıdaki hususlar dikkate alınmalıdır:

\(\alfa + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Gibi

\(k = f\left( h \sağ)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \sağ)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \sağ)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

örnekler

İkinci dereceden fonksiyonun grafiğini çizin \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Çözüm

Kökler \(\alpha = 3\;\) ve \(\beta = – 6\); sonra \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \sağ) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \sağ)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \sağ) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \sağ)\left( {\frac{9}{2}} \sağ) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Böylece aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz.

\(f\left( x \sağ) = 2\left( {x – 3} \sağ)\left( {x + 6} \sağ)\)	önemli unsurlar
parabolün tepe noktası	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \sağ)\)
Parabolün simetri ekseni	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
\(x\) ekseni ile kesmeler	\(\left( { – 6,0} \sağ)\;,\;\left( {3,0} \sağ)\)

Fonksiyonun grafiğini çizmek için:

\(f\left( x \sağ) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Daha önce kullandığımız fikirlerin aynılarını kullanacağız; Bunun için önce tepe noktasını belirleyeceğiz.

Bu durumda \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

\(a > 0\) olduğundan, parabol “açılacak ve \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left) ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Sonra \(k:\) hesaplayacağız

\(k = f\left( h \sağ) = f\left( 3 \sağ) = 3{\left( 3 \sağ)^2} – 18\left( 3 \sağ) + 4 = – 23\)

Parabolün tepe noktası \(\left( {3, – 23} \right)\) konumunda ve yukarı doğru açıldığı için parabol \(x\;\) eksenini kesecek ve simetri ekseni \ (x = 3\).

Şimdi ikinci dereceden işlevi ele alalım

\(f\left( x \sağ) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

Bu durumda \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

\(a < 0\) olduğundan, parabol aşağı doğru "açılacaktır" ve \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left() 2 \sağ)\left( { - 5} \sağ)}}} \sağ) = 1.\) A Sonra \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left('i hesaplayacağız. 1 \ sağ) - 9 = - 4\) parabol \(\left( {1, - 4} \right)\) noktasındadır ve aşağı doğru açıldığı için parabol \(x\;\) eksenini kesmez ve simetri ekseni \(x = 1.\)