Geometrik İlerleme Tanımı

Bir sayı dizisi \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); İkinciden başlayarak her eleman bir öncekinin \(r\ne 0\) sayısıyla çarpılmasından elde ediliyorsa, yani:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Nerede:
- \(r\) sayısına geometrik ilerlemenin oranı denir.
- \({{a}_{1}}\) öğesine aritmetik dizinin ilk öğesi denir.

Geometrik ilerlemenin öğeleri, birinci öğe ve onun oranı cinsinden ifade edilebilir, yani:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} {{r}^{3}}\)

Aritmetik ilerlemenin ilk dört unsurudur; genel olarak \(k-\)th elemanı şu şekilde ifade edilir:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Önceki ifadeden \({{a}_{1}}\ne 0,~\) elde ettiğimizde:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}}) {{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Yukarıdaki ifade şuna eşdeğerdir:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Örnek/alıştırma 1. Aritmetik dizinin farkını bulun: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​ve \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} öğelerini bulun \)

Çözüm

\(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) olduğundan, oranın şu şekilde olduğu sonucuna varabiliriz:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \sağ)=2{{\left( 3 \sağ)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \sağ)=2{{\left( 3 \sağ)}^{90}}\)

Örnek/alıştırma 2. Aritmetik dizide: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\) elde ederiz, geometrik dizinin oranını belirleyin ve yazın ilk 5 element

Çözüm

giyme

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Aritmetik dizinin ilk 5 elemanını bulmak için; \({{a}_{1}}\) hesaplayacağız:

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Geometrik ilerlemenin ilk 5 öğesi şunlardır:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \sağ),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\sol( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\sol( -4 \sağ)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Örnek/alıştırma 3. İnce bir cam, içinden geçen güneş ışığının %2'sini emer.

ile. Bu ince camların 10 tanesinden ışığın yüzde kaçı geçer?

B. Bu ince camların 20 tanesinden ışığın yüzde kaçı geçer?

C. Ardışık yerleştirilmiş aynı özelliklere sahip \(n\) ince camdan geçen ışığın yüzdesini belirleyiniz.

Çözüm

1 ile toplam ışığı temsil edeceğiz; Işığın %2'sini emerek, ardından ışığın %98'i camdan geçer.

Camdan geçen ışığın yüzdesini \(n\) \({{a}_{n}}\) ile temsil edeceğiz.

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \sağ),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \sağ)}^{2}}\left( 0,98 \sağ),\)

Genel olarak \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

ile. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \sağ)}^{10}}=0,81707\); bu bize cam 10'dan sonra ışığın %81.707'sini geçtiğini söyler.

B. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \sağ)}^{20}}=~0,66761\); bu da cam 20'den sonra %66,761'i geçtiğini söylüyor.

Bir geometrik ilerlemenin ilk \(n\) öğelerinin toplamı

\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} geometrik dizisi verildiğinde 1}}{{r}^{3}}\)….

\(r\ne 1\) ilk \(n\) elemanın toplamı olduğunda, toplam:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

ile hesaplanabilir

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \sağ)}{1-r},~r \n1\)

Örnek/alıştırma 4. Örnek 2'den \({{S}_{33}}\) hesaplayın.

Çözüm

Bu durumda \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) ve \(r=-4\)

uygulama

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \sağ)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \sağ)}^{22}}} {1-\sol( -4 \sağ)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \sağ)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \sağ)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Örnek/alıştırma 5. Bir kişinin evcil hayvanının bir fotoğrafını yüklediğini ve bunu bir internet sosyal ağında 3 arkadaşıyla paylaştığını ve her birinin bir saat içinde olduğunu varsayalım. Fotoğrafı 3 kişiyle paylaşır ve 1 saat sonra her biri fotoğrafı 3 kişiyle paylaşır. insanlar; Ve böylece devam eder; Fotoğrafı alan her kişi bir saat içinde 3 kişiyle paylaşıyor. 15 saat sonra, fotoğraf kaç kişide var?

Çözüm

Aşağıdaki tablo ilk hesaplamaları göstermektedir
Zaman Fotoğrafı Alan Kişiler Fotoğrafı Alan Kişiler
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Fotoğrafı saat olarak alan kişi sayısı \(n\) şuna eşittir: \({{3}^{n}}\)

Saatte zaten fotoğrafa sahip olan kişi sayısı şuna eşittir:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

uygulama

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \sağ)}{1-r}\)

\({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) ve \(n=15\) ile

Vasıtasıyla:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \sağ)}{1-3}=7174453\)

geometrik araçlar

\(a~\) ve \(b,\) olmak üzere iki sayı verildiğinde \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k) sayıları +1}}\) \(k\) \(a~\) ve \(b\) sayılarının geometrik ortalamaları olarak adlandırılır; \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) dizisi geometrik bir ilerleme ise.

\(a~\) ve \(b\) sayılarının \(k\) geometrik ortalamalarının değerlerini bilmek için, aritmetik ilerlemenin oranını bilmek yeterlidir, bunun için aşağıdakiler dikkate alınmalıdır:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Yukarıdakilerden ilişkiyi kurarız:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(d\) için çözerek şunu elde ederiz:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Örnek/alıştırma 6. -15 ve 1875 sayıları arasında 2 geometrik ortalama bulun.

Çözüm

başvururken

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(b=375,~a=-15\) ve \(k=2~\) ile:

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 geometrik araç şunlardır:

\(75,-375\)

Örnek/alıştırma 7. Bir kişi 6 ay boyunca her ay para yatırıp faiz aldı ve sermayesi %10 arttı. Oranın değişmediğini varsayarsak, aylık faiz oranı neydi?

Çözüm

\(C\) yatırılan sermaye olsun; nihai sermaye \(1.1C\); Problemi çözmek için aşağıdaki formülü uygulayarak 5 geometrik araç yerleştirmeliyiz:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(k=5,~b=1.1C\) ve \(a=C.\) ile

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Alınan aylık ücret \(%1,6\) idi