Karışık, Birim, Homojen ve Heterojen Kesirlerin Tanımı

Karışık. Karışık bir kesir, birden büyük veya ona eşit bir tam sayıdan ve bir kesrin genel yazımı olan uygun bir kesirden oluşur. karışık şu biçimdedir: \(a + \frac{c}{d},\) ve kompakt yazımı: \(a\frac{c}{d},\;\), yani: \(a\ kesir{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). \(a\) sayısına karışık kesrin tamsayı kısmı ve \(\frac{c}{d}\) sayısına kesirli kısmı denir.

homojen. İki veya daha fazla kesrin paydası aynı ise bunlara benzer kesirler denir. Örneğin, \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) homojendir çünkü hepsinin paydası aynıdır, bu durumda payda \(4\'tür). \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) değil \(\frac{5}{2}\)'nin paydası \(2\) ve diğer kesirlerin paydası olduğundan homojen kesirler \(4\). Homojen kesirlerin avantajlarından biri, fonksiyonlarda toplama ve çıkarma aritmetik işlemlerinin çok basit olmasıdır.

heterojen. İki veya daha fazla kesrin en az ikisinin paydası aynı değilse bu kesirlere heterojen kesirler denir. Aşağıdaki kesirler heterojendir: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

üniter. Pay 1 \(1,\) \(2\)'ye eşitse, bir kesir birim olarak tanımlanır. Aşağıdaki kesirler birim kesir örnekleridir: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Karışık bir kesrin sözlü ifadesi

karışık kesir	Sözlü ifade
\(3\frac{1}{2} = \)	Üç buçuk tam
\(5\frac{3}{4} = \)	Beş tamsayı ve dörtte üçü
\(10\frac{1}{8} = \)	Sekizde biri olan on tamsayı

Karışık bir kesri uygunsuz bir kesre dönüştürme

Karışık kesirler tahmin için kullanışlıdır, örneğin aşağıdakileri oluşturmak kolaydır:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Bununla birlikte, karma kesirler çarpma ve bölme gibi işlemleri gerçekleştirmek için genellikle pratik değildir, bu nedenle karma kesre nasıl dönüştürüleceği önemlidir.

Önceki şekil karışık kesri \(2\frac{3}{4}\) temsil eder, şimdi her tamsayı şunlardan oluşur: dört çeyrek, yani 2 tamsayıda 8 çeyrek var ve bunlara diğer 3 çeyreği eklemeliyiz, yani söylemek:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \sağ) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Genel olarak:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Aşağıdaki tabloda diğer örnekler gösterilmektedir.

karışık kesir	Gerçekleştirilecek işlemler	yanlış kesir
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \sağ) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \sağ) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \sağ) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Yanlış Kesri Karışık Kesre Çevirmek

Uygunsuz bir kesri karışık bir kesre dönüştürmek için, payı paydaya bölmenin bölümünü ve kalanını hesaplayın. Elde edilen bölüm, karışık kesrin tamsayı kısmı olacak ve uygun kesir \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{payda}}}}\) olacaktır.

Örnek

\(\frac{{25}}{7}\)'yi karma bir kesre dönüştürmek için:

Gerçekleştirilen işlemler için şunları elde ederiz:

Aşağıdaki tablo diğer örnekleri göstermektedir.

yanlış kesir	Bölüm ve kalanın hesaplanması	yanlış kesir
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Karışık ve uygun kesirlerin günlük kullanımı

Günlük hayatta ölçmemiz, satın almamız, fiyatları karşılaştırmamız, indirimler sunmamız gerekiyor; ölçmek için ölçü birimlerine ihtiyacımız var ve her zaman ürünlerin tüm birimlerini sunmazlar ve her zaman bir birimin tam miktarıyla ödeme yapmazsınız.

Örneğin, bazı sıvıların içeriği \(\frac{3}{4}\;\) litre, yarım galon veya bir buçuk galon olan kaplarda satılması yaygın bir durumdur. Belki bir tüp almaya gittiğinde \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) ve bu durumda inç olan ölçü birimini söylemenize gerek yoktur.

Benzer kesirlerin temel işlemleri

\(\frac{3}{4}\) ve \(\frac{2}{4}\) toplamı aşağıdaki şemada örneklenmiştir:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Çıkarma şu şekilde yapılırken:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Genel olarak, homojen kesirler için:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Mısırlılar ve birim kesirler

Mısır kültürü, dikkate değer bir teknolojik gelişme kaydetmiştir ve bu, matematik düzeyinde bir gelişme olmadan gerçekleşemezdi. Mısır kültüründe kesirlerin kullanımının kayıtlarını bulabileceğiniz tarihi kalıntılar var, özellikle de sadece birim kesirler kullandılar.

Bir kesri birim kesirlerin toplamı olarak yazmanın şu kadar basit olduğu birkaç durum vardır:

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

\(n = 2q + 1\), yani tek olması durumunda, şunu elde ederiz:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Bunu iki örnekle açıklayacağız.

\(\frac{2}{{11}}\);'yi ifade etmek için bu durumda \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\) var, dolayısıyla:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \sağ)}},\)

demek ki,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

\(\frac{2}{{17}}\);'yi ifade etmek için bu durumda \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Sonra, bazı kesirleri birim kesirlerin toplamı olarak gösteriyoruz,

kesir	Birim kesirlerin toplamı olarak ifade	kesir	Birim kesirlerin toplamı olarak ifade
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Önceki tabloyu kullanarak kesirler ekleyebilir ve bu tür toplamları ifade edebiliriz; birim kesirlerin toplamı olarak.

Heterojen Kesirlere Örnekler

örnek 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \sağ) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \sağ)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \sağ) + \frac{1 {{15}} + \frac{1}{9}\)

Örnek 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \sağ) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \sağ)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Son olarak, aynı kesri birim kesirlerin toplamı olarak farklı bir şekilde şu şekilde ifade edebiliriz:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)