Eşdeğer Kesirlerin Tanımı

İki veya daha fazla kesir, aynı miktarı temsil ediyorsa, yani şu ise eşdeğerdir denir:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
\(\frac{a}{b}\) ve \(\frac{c}{d}\) kesirlerinin eşdeğer olduğu söylenir.

Eşdeğer Kesirler: Grafik Gösterim

Dördüncülere, üçlülere, sekizincilere ve onikilere böleceğimiz kareyi ele alalım.

Önceki rakamlardan aşağıdaki eşdeğerlikleri görüyoruz:

Bir veya birkaç denk kesir nasıl elde edilir?

Belirli bir kesre eşdeğer bir kesir elde etmenin iki temel yöntemi vardır.

1. Pay ve paydayı aynı pozitif sayı ile çarpın.

Örnekler:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \sağ)}}{{4\left( 5 \sağ)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \sağ)}}{{4\left( 7 \sağ)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \sağ)}}{{8\left( 6 \sağ)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Pay ve paydanın aynı pozitif ortak bölenine bölünür.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Bir kesirde hem pay hem de payda 1'den başka aynı ortak bölene bölünüyorsa kesrin indirgenmiş olduğu söylenir.

indirgenemez kesirler

Pay ve paydanın en büyük ortak böleni 1'e eşit olan kesre indirgenemez kesir denir.

\(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) ise \(\frac{a}{b}\) kesrine indirgenemez kesir denir.

Bu kesre eşdeğer bir kesir elde etmek için bir \(\frac{a}{b}\) kesri verildi ve bu da indirgenemez bir kesir, pay ve pay, \(a\;\) ve 'nin en büyük ortak bölenine bölünür \(B.\)

Aşağıdaki tabloda indirgenemez ve indirgenebilir kesirlerin örnekleri gösterilmektedir; indirgenebilir ise, indirgenemez bir eşdeğer kesrin nasıl elde edileceğini gösterir.

kesir	En büyük ortak böleni	İndirgenemez	indirgenemez eşdeğer kesir
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	HAYIR	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Evet	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	HAYIR	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Evet	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	HAYIR	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Eşdeğer kesirler: sözlü gösterim.

Aşağıdaki tablo, sayısal açıdan eşdeğer bilgileri görüntülemenin iki farklı yolunu göstermektedir.

sözlü ifade	Eşdeğer ifade (sayısal olarak)	Argümantasyon
1930'da Meksika'da 25 kişiden 4'ü ana dilini konuşuyordu.	1930'da Meksika'da 100 kişiden 16'sı ana dilini konuşuyordu.	Her iki veri de 4 ile çarpılmıştır.
1960 yılında Meksika'da her 1000 kişiden 104'ü ana dilini konuşuyordu.	1960 yılında Meksika'da 125 kişiden 13'ü ana dilini konuşuyordu.	Her iki veri de 8'e bölündü.

Eşdeğer Kesirler: Ondalık Gösterim

Aşağıdaki tablo, çeşitli ondalık sayıları ve bunları temsil eden eşdeğer kesirleri göstermektedir.

Ondalık sayı	kesir	eşdeğer kesir	Operasyonlar
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Eşdeğer Kesirler: Yüzde Olarak Gösterim

Aşağıdaki tablo, çeşitli ondalık sayıları ve bunları temsil eden eşdeğer kesirleri göstermektedir.

Ondalık sayı	kesir	eşdeğer kesir	Operasyonlar
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Eşdeğer Kesirler: Heterojenden Homojene

\(\frac{a}{b}\) ve \(\frac{c}{d}\) iki heterojen kesir verildiğinde, iki kesri bulabiliriz öyle ki bir kesir \(\frac{a}{b}\;\) kesrine, diğeri ise \(\frac{c}{d}\).

Ardından, önceki paragrafta belirtilenleri gerçekleştirmek için iki prosedür göstereceğiz.

gözlemleyelim:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \sağ)}}{{b\left( d \sağ)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \sağ)}}{{d\left( b \sağ)}}\)

Aşağıdaki tabloda bazı örnekler gösterilmektedir.

F. heterojen	Operasyonlar	F. homojen
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \sağ)}}{{5\left( 3 \sağ)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \sağ)}}{{3\left( 5 \sağ)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \sağ)}}{{12\left( {18} \sağ)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \sağ)}}{{18\left( {12} \sağ)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \sağ)\left( 4 \sağ)}}{{10\left( {14} \sağ) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \sağ)\left( 4 \sağ)}}{{14\left( {10} \sağ)\left( 4 \sağ)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \sağ)\left( {14} \sağ)}}{{4\left( {10} \sağ)\left( {14} \sağ)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Bu yöntemin dezavantajı, süreçte çok büyük sayıların üretilebilmesidir; Çoğu durumda, paydaların en küçük ortak katı hesaplanırsa ve ikinci yöntem en küçük ortak katın hesaplanmasına dayanırsa, bundan kaçınmak mümkündür.

Kesirlerin hesaplanmasında en küçük ortak kat

Daha sonra, iki örnek üzerinden, ilgili kesirlerin ortak paydası olacak paydaların en küçük ortak katını kullanarak homojen kesirlerin nasıl elde edileceği.

Kesirleri dikkate alın: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

\(12\) ve \(18\)'in en küçük ortak katı \(36\); Şimdi

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \sağ)}}{{12\left( 3 \sağ)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \sağ)}}{{18\left( 2 \sağ)}} = \frac{8}{{36}} \)

Şimdi kesirleri göz önünde bulundurun: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

\(10\), \(14\) ve \(3\)'ün en küçük ortak katı \(140\); Şimdi

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \sağ)}}{{10\left( {14} \sağ)}} = \frac{{98} {{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \sağ)}}{{14\left( {10} \sağ)}} = \frac{{30} {{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \sağ)}}{{4\left( {35} \sağ)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Önceki rakamlardan şu gerçeği görüyoruz:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

İşte diğer örnekler.

F. heterojen	dakika ortak paydalar	Operasyonlar	F. homojen
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \sağ)}}{{14\left( 9 \sağ)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \sağ)}}{{18\left( 7 \sağ)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \sağ)}}{{6\left( {15} \sağ)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \sağ)}}{{15\left( 6 \sağ)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \sağ)}}{{9\left( {10} \sağ)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)