Kuadratik/Quartic Denklem Tanımı

Bir bilinmeyene göre ikinci dereceden bir denklem veya o olmazsa ikinci dereceden bir denklem şu şekilde ifade edilir:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Bilinmeyen \(x\), \(a, b\) ve c gerçek sabitler olduğu sürece, \(a \ne 0.\)

İkinci dereceden denklemleri çözmek için çarpanlara ayırma da dahil olmak üzere birkaç teknik vardır, bu durumda çözünürlüğe göre aşağıdaki özelliği dikkate almalıyız:

İki sayının çarpımı sıfır ise iki olasılık vardır:

1. İkisi de sıfıra eşittir.
2. Biri sıfır değilse diğeri sıfırdır

Yukarıdakiler şu şekilde ifade edilebilir:
\(pq = 0\) ise, o zaman \(p = 0\) veya \(q = 0\).

Pratik örnek 1: \({x^2} – 8\)=0 denklemini çözün

\({x^2} – 8 = 0\)	Başlangıç ​​durumu
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	\({x^2}\) için çözmek için denklemin her iki tarafına 8 ekleyin
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Karekök, \(x.\)'i yalıtmak için aranarak elde edilir. 8 çarpanlarına ayrılır ve radikallerin ve kuvvetlerin özellikleri uygulanır.
\(\sol| x \sağ| = 2\sqrt 2 \)	\({x^2}\)'nin kökünü elde edersiniz
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

\({x^2} – 8\)=0'ın çözümleri:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Pratik örnek 2: \({x^2} – 144\)=0 denklemini çözün

\({x^2} – 144 = 0\)	Başlangıç ​​durumu
\({x^2} – {12^2} = 0\)	144'ün karekökü 12'dir. Kareler farkı belirlenir.
\(\left( {x + 12} \sağ)\left( {x – 12} \sağ) = 0\)	Kareler farkı çarpanlara ayrılır
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	\(x + 12\) çarpanının 0'a eşit olma olasılığını göz önünde bulunduruyoruz. Elde edilen denklem çözülür.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	\(x – 12\) faktörünün 0'a eşit olma olasılığını göz önünde bulunduruyoruz. Elde edilen denklem çözülür.

\({x^2} – 144 = 0\) denkleminin çözümleri:

\(x = – 12,\;12\)

Pratik örnek 3: \({x^2} + 3x = 0\) denklemini çözün

\({x^2} + 3x = 0\)	Başlangıç ​​durumu
\(x\sol( {x + 3} \sağ) = 0\)	\(x\) ortak çarpan olarak belirlenir ve çarpanlarına ayırma işlemi gerçekleştirilir.
\(x = 0\)	\(x\) faktörünün 0'a eşit olma olasılığını düşünün.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	\(x – 12\) faktörünün 0'a eşit olma olasılığını göz önünde bulunduruyoruz. Elde edilen denklem çözülür.

\({x^2} + 3x = 0\) denkleminin çözümleri şunlardır:
\(x = – 3.0\)

Pratik örnek 4: \({x^2} – 14x + 49 = 0\) denklemini çözün

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Başlangıç ​​durumu
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	49'un karekökü 7'dir ve \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Mükemmel bir kare üç terimli tanımlanır.
\({\sol( {x – 7} \sağ)^2} = 0\)	Mükemmel kare üç terimli, kareli bir iki terimli olarak ifade edilir.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)'nin çözümü:
\(x = 7\)

Pratik örnek 5: \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) denklemini çözün

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Başlangıç ​​durumu
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	\(\left( {10} \sağ)\left( {12} \sağ) = 120 = \left( { – 8} \sağ)\left( { – 15} \sağ)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \sağ) – 15x + 12 = 0\)	\( – 23x = – 18x – 15\) şeklinde ifade edilir.
\(2x\left( {5x – 4} \sağ) – 3\left( {5x – 4} \sağ) = 0\)	\(2x\)'yi ilk toplamada ortak bölen olarak belirleyin ve çarpanlarına ayırın. \( – 3\)'ü ikinci toplamada ortak çarpan olarak belirleyin ve çarpanlarına ayırın.
\(\left( {5x – 4} \sağ)\left( {2x – 3} \sağ) = 0\)	Ortak çarpanı çarpanlarına ayırın \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	\(5x – 12\) çarpanının 0'a eşit olma olasılığını göz önünde bulunduruyoruz. Elde edilen denklem çözülür.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	\(2x – 3\) çarpanının 0 olma olasılığını göz önünde bulundurun. Elde edilen denklem çözülür.

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)'nin çözümleri:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Pratik örnek 6: \({x^2} + 4x + 1 = 0\) denklemini çözün

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Başlangıç ​​durumu Üç terimli tam bir kare değil
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Denklemin her iki tarafına -1 ekleyin.
\({x^2} + 4x = – 1\)	\(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) olduğundan, \({2^2}\) ekleyerek mükemmel bir kare elde ederiz.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Denklemin her iki tarafına \({2^2}\;\) ekleyin. Sol taraf tam bir kare.
\({\sol( {x + 2} \sağ)^2} = 3\)	Mükemmel kare üç terimli, kareli bir iki terimli olarak ifade edilir.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \sağ)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Denklemin her bir tarafının karekökünü alın
\(\sol| {x + 2} \sağ| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	\(x\) için çözün.

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)'nin çözümleri:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Pratik örnek 7: \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) denklemini çözün

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Başlangıç ​​durumu Üç terimli tam bir kare değildir.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \sağ) = \frac{1}{5}\left( 1 \sağ)\)	\({x^2}\)'nin katsayısı 1 olacak şekilde denklemin her bir tarafıyla çarpın.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	ürün dağıtıldı \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\ olduğundan, \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) mükemmel bir kare üç terimli verir.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	\({\left( {x + 2} \right)^2}\) için denklemin her iki tarafına 3 ekleyin
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \sağ)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Tam kare üç terimli, küplü bir iki terimli olarak ifade edilir.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \sağ)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Denklemin her bir tarafının karekökünü alın
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	\(x\) için çözün.

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)'nin çözümleri:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Yukarıdaki denklemde kullanılan prosedür, ikinci dereceden çözümler için genel formül denen şeyi bulmak için kullanılacaktır.

İkinci Derece Denklemin Genel Formülü.

İkinci dereceden denklemlerin genel formülü

Bu bölümde, ikinci dereceden bir denklemin genel bir şekilde nasıl çözüleceğini bulacağız.

\(a \ne 0\) ile \(a{x^2} + bx + c = 0\) denklemini ele alalım.

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \sağ) = 0\)

\(a \ne 0\) olduğu için şunu çözmek yeterlidir:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Başlangıç ​​durumu
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Denklemin her iki tarafına \( – \frac{c}{a}\) ekleyin.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	\(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\ olduğundan, \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\), mükemmel bir kare üç terimli verir.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} {{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Denklemin sol tarafı bir tam kare üç terimlidir.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \sağ)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Mükemmel kare üç terimli, kareli bir iki terimli olarak ifade edilir. Cebirsel kesir yapılır.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \sağ)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Denklemin her bir tarafının karekökünü alın.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Radikal özellikler geçerlidir.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Mutlak değer özellikleri geçerlidir.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } {{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Denklemin her iki tarafına \( – \frac{b}{{2a}}\) ekleyerek \(x\)'i bulun
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Cebirsel kesir yapılır.

\({b^2} – 4{a^2}c\) terimi, ikinci dereceden denklemin \(a{x^2} + bx + c = 0\) ayırıcısı olarak adlandırılır.

Yukarıdaki denklemin ayırıcısı negatif olduğunda, çözümler karmaşık sayılardır ve gerçek çözümler yoktur. Karmaşık çözümler bu notta ele alınmayacaktır.

İkinci dereceden denklem verildiğinde \(a{x^2} + bx + c = 0\), eğer \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). O zaman bu denklemin çözümleri:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

İfade:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Buna ikinci dereceden denklemin Genel Formülü denir.

Pratik örnek 8: \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\) denklemini çözün

\(ile\)	\(B\)	\(C\)	ayrımcı	gerçek çözümler
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \sağ)\left( { – 5} \sağ) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} {6}\)

Denklemin çözümleri:
\(\alfa = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Pratik örnek 9: \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\) denklemini çözün

\(ile\)	\(B\)	\(C\)	ayrımcı	gerçek çözümler
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\left( { – 4} \sağ)\left( 9 \sağ) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\sol( {17} \sağ)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Denklemin çözümleri:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Pratik örnek 10: \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\) denklemini çözün

\(ile\)	\(B\)	\(C\)	ayrımcı	gerçek çözümler
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \sağ)^2} – 4\left( 5 \sağ)\left( 1 \sağ) = 16 – 20 = – 4\)	Bulunmamaktadır

Çeşitli Denklemler

İkinci dereceden bir denkleme dönüştürülebilen ikinci dereceden olmayan denklemler vardır.İki durum göreceğiz.

Pratik örnek 11: \(6x = 5 – 13\sqrt x \) denkleminin gerçek çözümlerini bulma

\(y = \sqrt x \) değişkeninin değişimini yaparak, önceki denklem şu şekilde kalır:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \sağ) – \left( {2y + 5} \sağ) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \sağ)\left( {3y – 1} \sağ) = 0\)

Bu nedenle \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

\(\sqrt x \) yalnızca pozitif değerleri gösterdiğinden, yalnızca şunları dikkate alacağız:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Cevap:

Tek gerçek çözüm:
\(x = \frac{1}{9}\)

Çözümlü örnek 12: \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 denklemini çözün }\)

Değişken değişikliğini yapmak:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Denklemi elde ederiz:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \sağ) + 2\left( {2y – 3} \sağ) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \sağ)\left( {3y + 2} \sağ) = 0\)

\(y\)'nin olası değerleri şunlardır:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Yukarıdakilerden sadece olumlu çözümü ele alacağız.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Çözümler \(x = 9.\)