Üstel Fonksiyon Tanımı

Üstel fonksiyon, çeşitli doğal olayları ve sosyal ve ekonomik durumları modeller, bu nedenle üstel fonksiyonları çeşitli bağlamlarda tanımlamak önemlidir.

Bir sayı için \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) tanımlı olduğunu hatırlayalım, genel olarak herhangi bir \(n\ için buna sahibiz) ) doğal sayı:

\(a \ne 0\) durumunda, şuna sahibiz: \({a^0} = 1,\;\) aslında, \(a \ne 0,\) olduğunda \ işlemini yapmak mantıklıdır (\frac{a}{a} = 1;\) üsler kanununu uygularken şunu elde ederiz:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

\(a = 0\) olduğunda, önceki akıl yürütme mantıklı değildir, bu nedenle \({0^0},\) ifadesi matematiksel bir yorumdan yoksundur.

\(b > 0\) olması durumunda ve \({b^n} = a,\) olduğu doğruysa, \(b\)'nin \(a\)'nın n'inci kökü olduğu söylenir ve genellikle \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) veya \(b = \sqrt[n]{a}\) olarak gösterilir.

\(a < 0\ olduğunda), \({b^2} = a;\) olacak şekilde \(b\) gerçek sayısı yoktur çünkü \({b^2} \ge 0;\;\ ) yani formun ifadeleri \({a^{\frac{m}{n}}}\), aşağıdaki cebirsel ifadede \(a < 0.\) için dikkate alınmayacaktır: \({a^n}\) \(a \ ) taban olarak adlandırılır ve \(n\) üs denir, \({a^n}\), \(a\)'nın kuvveti\(\;n\) olarak adlandırılır veya ayrıca \(a\) üzeri \(n,\;\)se olarak adlandırılır. aşağıdaki yasalara uyun üslerin sayısı:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \sağ)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \sağ)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \sağ)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \sağ)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \sağ)^m} = {\left( {{a^m}} \sağ)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) her \(a \ne 0\) için

Üstel fonksiyon şu şekildedir:

\(f\sol( x \sağ) = {a^x}\)

\(a > 0\) bir sabittir ve bağımsız değişken, \(x\) üssüdür.

Üstel fonksiyonun bir analizini yapmak için üç durumu ele alacağız.

Durum 1 Taban \(a = 1.\) olduğunda

Bu durumda, \(a = 1,\) işlevi \(f\left( x \right) = {a^x}\) sabit bir işlevdir.

Durum 2 \(a > 1\) temeli olduğunda

Bu durumda, aşağıdakilere sahibiz:

\(x\) değeri
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(bir < {a^x}\)

\(f\left( x \right) = {a^x}\) işlevi kesinlikle artan bir işlevdir, yani eğer \({x_2} > {x_1}\), o zaman:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \sağ) > f\left( {{x_1}} \sağ)\)

Bir fenomen üstel bir fonksiyonla, \(a > 1\) ile modellendiğinde, onun üstel büyüme gösterdiğini söyleriz.

Durum 2 Temel \(a < 1\).

\(x\) değeri
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x}

\(a < 1\) olduğunda, \(f\left( x \right) = {a^x}\) işlevi kesinlikle azalan bir işlevdir, yani, eğer \({x_2} > {x_1}\ ), Bu yüzden:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \sağ) < f\left( {{x_1}} \sağ) \) Bir fenomen olduğunda \(a < 1\) ile üstel fonksiyona sahip modeller, bir azalma veya düşüş gösterdiğini söylüyoruz üstel Aşağıdaki grafik, üç farklı durumda \({a^x}\) davranışını göstermektedir.

üstel fonksiyonun uygulamaları

Örnek 1 Nüfus Artışı

Nüfus oranı zamanla sabit kalırsa, başlangıç ​​popülasyonunu \({P_0}\) ile ve nüfus artış oranını \(r \ge 0\) ile göstereceğiz; işlev

\(P\left( t \sağ) = {P_0}{\left( {1 + r} \sağ)^t};\)

t zamanındaki nüfusu bulun.

Pratik örnek 1

Meksika'nın nüfusu, 2021 yılında 126 milyon ve yıllık %1,1'lik bir büyüme sergiledi, Bu büyüme devam ederse, 2031 yılında Meksika'da ne kadar nüfus olacak? 2021?

Çözüm

Bu durumda \({P_o} = 126\) ve \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\), yani şunu kullanmalısınız:

\(P\left( t \sağ) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \sağ)^t}\)

Aşağıdaki tablo sonuçları göstermektedir

Yıl	geçen zaman (\(T\))	Hesaplama	Nüfus (Milyon)
2021	0	\(P\left( t \sağ) = 126{\sol( {1.0011} \sağ)^0}\)	126
2031	10	\(P\left( t \sağ) = 126{\sol( {1.0011} \sağ)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left( t \sağ) = 126{\sol( {1.0011} \sağ)^{30}}\)	174.95

Örnek 2 Bileşik faizin hesaplanması

Bankalar yıllık bir faiz oranı sunar, ancak gerçek oran, onu kaç ay yatırdığınıza bağlıdır; Örneğin, size yıllık %r faiz oranı teklif edildiyse, gerçek aylık oran \(\frac{r}{{12}}\)%, iki aylık oran ise: \(\frac{r}{6}\)%, üç ayda bir \(\frac{r}{4}\)%, üç ayda bir \(\frac{r}{3}\)% ve dönem: \(\frac{r}{2}\)%.

Pratik örnek 2

Bir bankaya 10.000 TL yatırdığınızı ve bankanın size aşağıdaki yıllık faiz oranlarını sunduğunu varsayalım:

vadeli mevduat	Yıllık oran	bir yıldaki dönemler	gerçek oran	\(k\) ayda birikmiş para
iki ay	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00091667} \sağ)^{\frac{k}{2}}}\)
üç ay	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00461667} \sağ)^{\frac{k}{3}}}\)
altı ay	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,0078} \sağ)^{\frac{k}{6}}}\)

\(e\) sayısı, Euler'in sabit ve sürekli ilgisi.

Şimdi, bir başlangıç ​​sermayemiz \(C\) olduğunu ve onu sabit bir oranda \(r > 0\) yatırdığımızı ve yılı \(n\) dönemlere ayırdığımızı varsayalım; bir yılda biriken sermaye şuna eşittir:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \sağ)^n}\)

\(n\) büyüdüğünde birikmiş sermayenin nasıl davrandığını analiz etmek için, bir yıl içinde birikmiş sermayeyi yeniden yazacağız:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \sağ)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \sağ)^{\left( {\frac{n}{r}} \sağ) r}},\)

\(m = \frac{n}{r}\) yaparak şunu elde ederiz:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \sağ)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \) frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

\(n\) büyüdükçe \(m = \frac{n}{r}.\) büyür

\(m = \frac{n}{r},\) büyüdükçe, \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\)ifadesi, Euler sabiti veya sayısı:

\(e \yaklaşık 2,718281828 \ldots .\)

Euler sabitinin sonlu veya periyodik bir ondalık ifadesi yoktur.

Aşağıdaki yaklaşımlara sahibiz

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \sağ)}^m}} \sağ)^r} \yaklaşık C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \sağ)^{ns}} \yaklaşık C{e^{rs}}.\)

ifadeye:

\(A = \;C{e^r},\)

Bunu iki şekilde yorumlayabiliriz:

1.- Yıllık oranda \(r.\) sermaye \(C,\;\) yatırdığımızda bir yılda biriktirebileceğimiz maksimum miktar olarak

2.- Sermayemiz sürekli olarak yıllık oranda yeniden yatırılsaydı, bir yılda biriktireceğimiz miktar olarak \(r.\)

\(T\left( s \sağ) = \;C{e^{rs}},\)

\(s\) yıl sürekli faizle yatırılırsa biriken tutardır.

Somut örnek 3

Şimdi, yıllık oranın iki ayda bir taksitlerle %0,55 olduğu somut örnek 2'nin bir kısmına döneceğiz. İlk sermaye 10.000 ise ve yarım yıl, iki yıl, 28 ay yeniden yatırım yaparsa biriken sermayeyi hesaplayın.

\(10{\left( {1.00091667} \sağ)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

aşağıdaki tablonun gösterdiği gibi, \(m = \frac{n}{r},\) değeri "küçük" değildir ve yukarıdaki tablo, \({\left( {1 + \frac{1}{) m}} \right)^m}\) Euler sabitine yakındır.

Zaman	Dönem sayısı (\(k\))	Birikmiş sermaye, bin olarak, her iki ayda bir yeniden yatırılır
Yarım yıl	3	\(10{\left( {1.00091667} \sağ)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
İki yıl	12	\(10{\left( {1.00091667} \sağ)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 ay	19	\(10{\sol( {1.00091667} \sağ)^{19}} = 10.\;175612\)

Zaman	Yılların zamanı (\(s\))	Binlerce birikmiş sermaye, sürekli faizle yatırım
Yarım yıl	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \sağ)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
İki yıl	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \sağ)^{0.0055\left( 2 \sağ)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 ay	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \sağ)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Örnek 2 Amortisman

Pratik örnek 1

Bir bilgisayar her yıl %30 değer kaybediyor, eğer bir bilgisayarın maliyeti 20.000 pezo ise, bilgisayarın \(t = 1,12,\;14,\;38\) aylık fiyatını belirleyiniz.

Bu durumda, biri:

\(P\left( t \sağ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \sağ)^t}\)

Yıl cinsinden \(t\) ile, aşağıdaki tabloda \(t\) yerine koymak şunu verir:

ay cinsinden zaman	yıl cinsinden zaman	hesaplamalar	Sayısal değer
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \sağ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \sağ)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \sağ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \sağ)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \sağ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \sağ)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \sağ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \sağ)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859