Aritmetik İlerlemenin Tanımı

Ardışık iki sayı arasındaki fark aynı sayıya eşitse \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​bir sayı dizisine aritmetik dizi denir \(d\), bu Evet:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

\(d\) sayısına aritmetik ilerlemenin farkı denir.

\({a_1}\) öğesine aritmetik dizinin ilk öğesi denir.

Aritmetik ilerlemenin öğeleri, birinci öğe ve onun farkı cinsinden ifade edilebilir, yani:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Aritmetik ilerlemenin ilk dört unsurudur; Genel olarak \(k – \)th öğesi şu şekilde ifade edilir:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \sağ) d\)

Yukarıdaki ifadeden şunu elde ederiz:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \sağ) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \sağ) d} \sağ )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \sağ) d\)

Yukarıdaki ifade şuna eşdeğerdir:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \sağ) d\)

Aritmetik ilerleme için uygulanan örnekler

1. Aritmetik dizinin farkını bulun: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​ve \({a_{20}},\;{a_{99}}\) öğelerini bulun

Çözüm

\(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) olduğundan, farkın şu şekilde olduğu sonucuna varabiliriz:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \sağ) d = 3 + 19\left( 5 \sağ) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \sağ) d = 3 + 98\left( 5 \sağ) = 493\)

2. Bir aritmetik dizide: \({a_{17}} = 20\;\)ve \({a_{29}} = – 130\), aritmetik dizinin farkını belirleyin ve ilk 5 elemanı yazın.

Çözüm

giyme

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \sağ) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \sağ) d\)

\( – 130 – 20 = \left( {12} \sağ) d\)

\( – 150 = \left( {12} \sağ) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

İlk 5 elementi bulmak için; \({a_1}\) hesaplayacağız:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \sağ) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \sağ)\left( { – \frac{{25}}{2}} \sağ)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \sağ)\left( { – \frac{{25}}{2}} \sağ)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

İlk 5 element:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \sağ),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \sağ),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \sağ),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \sağ)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Çokgen sayılar ve bir aritmetik ilerlemenin ilk \(n\) öğelerinin toplamı

üçgen sayılar

Üçgen sayılar \({T_n}\;\) aritmetik ilerlemeden oluşur: \(1,2,3,4 \ldots \); Aşağıdaki şekilde.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

kare sayılar

\({C_n}\;\) kare sayıları aritmetik ilerlemeden oluşur: \(1,3,5,7 \ldots \); aşağıdaki gibi

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

beşgen sayılar

\({P_n}\;\) kare sayıları aritmetik ilerlemeden oluşur: \(1,3,5,7 \ldots \); aşağıdaki gibi

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Daha sonra, bir aritmetik ilerlemenin ilk \(n\) öğelerinin toplamını bulmak için formülü göstereceğiz.

Aritmetik ilerleme verildiğinde, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) D\). \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) toplamını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \sağ)}}{2}\)

hangisine eşdeğerdir

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \sağ) d} \sağ)}}{2}\)

Önceki formülü uygulayarak üçgen, kare ve beşgen sayıları hesaplamak için formüller elde edilir; aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

çokgen sayı	\({a_1}\)	\(D\)	formül
Üçgen \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \sağ)}}{2}\)
Kare \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Beşgen \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \sağ)}}{2}\)

Poligonal sayılara örnek

3. Örnek 2'den \({S_{33}}\) hesaplayın.

Çözüm

Bu durumda \({a_1} = 200\) ve \(d = – \frac{{25}}{2}\)

uygulama

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \sağ) d} \sağ)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \sağ) + \left( {33 – 1} \sağ)\left( { – \frac{{25) }}{2}} \sağ)} \sağ)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { – 25} \sağ)} \sağ) = 17\left( 0 \sağ) = 0\)

aritmetik araçlar

\(a\;\) ve \(b,\) olmak üzere iki sayı verildiğinde, \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) sayılarına \(k\) denir aritmetik sayılar \(a\;\) ve \(b\); \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) dizisi bir aritmetik ilerleme ise.

\(a\;\) ve \(b\) sayılarının \(k\) aritmetik ortalamasının değerlerini bilmek için, aritmetik ilerlemenin farkını bilmek yeterlidir, bunun için aşağıdakiler olmalıdır dikkate alınan:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Yukarıdakilerden ilişkiyi kurarız:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \sağ) d\)

\(d\) için çözerek şunu elde ederiz:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

örnekler

4. -5 ile 25 sayıları arasında 7 aritmetik ortalama bulun.

Çözüm

başvururken

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

\(b = 25,\;a = – 5\) ve \(k = 7\;\) ile:

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 aritmetik araç şunlardır:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Bir kişi buzdolabı almak için 2.000$ peşinat vermiş, kalanını kredi kartıyla 18 ay faizsiz ödemiş. Buzdolabını ödemek için aldığı borcu kapatmak için ayda 550 dolar ödemesi gerekiyor.

ile. Buzdolabının maliyeti nedir?

B. Geri kalanını 12 ay boyunca faizsiz olarak ödediyseniz, aylık ödeme ne kadar olur?

Çözüm

ile. Bu durumda:

\({a_{19}} = 2000 + 18\sol( {550} \sağ)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

B. 2000 ve 11900 sayıları arasında 11 aritmetik araç bulmalıyız, bunlar için:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) dizisi verildiğinde aşağıdaki 3 elemanı ve \(n\) elemanının genel ifadesini bulunuz.

Çözüm

\(22 – 7 \ne 45 – 22\) olduğundan söz konusu dizi aritmetik bir dizi değildir, ancak şunu oluşturabiliriz: ardışık iki öğenin farklarına sahip bir dizi ve aşağıdaki tablo sonuçlar:

\({b_n}\) dizisinin öğeleri	Sıra \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Yukarıdaki tablonun üçüncü sütunu bize dizinin \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); farkı \(d = 8\) olan bir aritmetik dizidir.

Daha sonra, \({b_n}\) dizisinin öğelerini \({c_n},\) dizisi cinsinden yazacağız.

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Genel olarak sahip olduğunuz:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

başvururken

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \sağ) d} \sağ)}}{2}\)

\({c_1} = 7\) ve \(d = 8,\) ile şunu elde ederiz:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \sağ) 8} \sağ)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n – 1} \sağ)} \sağ)\)

\({b_n} = n\left( {4n + 3} \sağ)\)

Önceki formülü uygulayarak: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)