Thales Teoremi nasıl tanımlanır?

Thales Teoreminden, birkaç paralel doğru verildiğinde, \(T\) doğrusunun paralel doğruların her birini kesiyorsa paralel doğrulara çapraz olduğu söylenir.

Şekil 1'de, \({T_1}\) ve \({T_2}\) doğruları, \({L_1}\) ve \({L_2}.\) paralel doğrularına çaprazdır.

Thales teoremi (zayıf versiyon)
Birkaç paralel, iki enine çizgiden birinde (aynı şeyi ölçen) uyumlu parçaları belirlerse, bunlar aynı zamanda diğer çaprazlarda da uyumlu parçaları belirleyecektir.

Şekil 2'de, siyah çizgiler paraleldir ve şunları yapmanız gerekir:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Aşağıdakileri sağlayabiliriz:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Miletli bilge Thales'in Cheops piramidinin yüksekliğini ölçtüğü, bunun için gölgeler kullandığı ve üçgen benzerlik özelliklerini uyguladığı söylenir. Thales Teoremi, üçgenlerin benzerliği kavramının gelişimi için temeldir.

Oranlar ve oranların özellikleri

Bir oran, böleni sıfırdan farklı olan iki sayının bölümüdür; demek ki:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{ile\;}}b \ne 0\)

Orantı, iki oranın eşitliğidir, yani:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) orantılılık sabiti olarak da adlandırılır.

oranların özellikleri

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) ise, \(m \ne 0:\;\) için

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

örnekler

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

\(\overline {AB} \) ve \(\overline {CD} \) segment çiftinin \(\overline {EF} \) ve \(\overline {GH} \) segmentleriyle orantılı olduğu söylenir. oran yerine getirilirse:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

\(AB\;\), \(\overline {AB} .\) segmentinin uzunluğunu belirtir.

Thales teoremi

Tanıma geri dönersek, birkaç paralel, enine hatlarında orantılı karşılık gelen parçaları belirler.

Şekil 3'te düz çizgiler paraleldir ve şunları sağlayabiliriz:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Önceki iki oranın aşağıdaki oranlara eşdeğer olduğuna dikkat edelim:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Yukarıdakilerden alırız:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Birçok durumda önceki oranlarla çalışmak daha iyidir ve bu durumda:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Thales Teoreminin Tersi

Birkaç çizgi, enine çizgilerinde orantılı karşılık gelen segmentleri belirliyorsa, çizgiler paraleldir.

Şekil 4'te yerine getirildiyse

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

O zaman şunu doğrulayabiliriz: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

\({L_1}\parallel {L_2}\), okunan \({L_1}\) notasyonu, \({L_2}\) ile paraleldir.

Önceki orandan şunu elde ederiz:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Bir parçanın eşit uzunlukta birkaç parçaya bölünmesi

Bir doğru parçasının eşit uzunlukta parçalara nasıl bölüneceğini somut bir örnekle göstereceğiz.

Segmenti \(\overline {AB} \) eşit uzunlukta 7 parçaya bölün

Başlangıç ​​durumu

Segmentin uçlarından birinden geçen bir yardımcı çizgi çizin.

Yardımcı çizgi üzerine pusula yardımıyla eşit uzunlukta 7 doğru parçası çizilir.

Son çizilen parçanın uçlarını ve bölünecek parçanın diğer ucunu birleştiren çizgiyi çizin

Çevre yaylarının yardımcı çizgi ile kesiştiği noktalardan geçen, az önce çizilen son çizgiye paralel olarak çizilirler.

Bir \(\overline {AB} \) doğru parçası verildiğinde, doğru parçasının bir \(P\) noktasının \(\overline {AB} \) doğru parçasını \(\frac{{AP}) oranında böldüğü söylenir. } {{PB}}.\)

Bir segmentin belirli bir oranda bölünmesi

Bir segment \(\overline {AB} \) ve iki pozitif tamsayı \(a, b\) verildiğinde; parçayı \(\frac{a}{b};\;\) oranında bölen \(P\) noktası şu şekilde bulunabilir:

1. \(\overline {AB} \) segmentini eşit uzunlukta \(a + b\) segmentlere bölün.
2. \(A\) noktasından sayarak \(a\) doğru parçaları alın.

örnekler

\(\overline {AB} \) segmentinin \(\frac{a}{b}\) oranında bölünmesi

Sebep	Segmentin bölündüğü parça sayısı	\(P\) noktasının konumu
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Thales Teoreminin uygulamalı örnekleri

uygulama 1: Şekil 5'te gösterildiği gibi, Sol Caddesi'nden Luna Caddesi'ne uzanan üç parsel.

Yanal sınırlar, Luna Sokağı'na dik olan bölümlerdir. Sol sokaktaki parsellerin toplam cephesi 120 metre ise, eğer biliniyorsa, söz konusu sokaktaki her bir parselin cephesini belirleyiniz:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Sorun bildirimi

Doğrular Luna Sokağı'na dik olduğundan, birbirlerine paraleldirler, Thales Teoremini uygulayarak şunu doğrulayabiliriz:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Yukarıdakilerden şu sonuca varabiliriz:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Benzer şekilde şu sonuca varabiliriz:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Çözüm

Orantılılık sabitini \(k,\) belirlemek için oranların özelliklerini kullanacağız:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Yukarıdakilerden şunu elde ederiz:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\left( {10} \sağ) = 12.\)

Benzer şekilde:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \sağ) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \sağ) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 {5}\left( {30} \sağ) = 36\)

Cevap

bölüm	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Uzunluk	12m	48m	24dk	36m

uygulama 2: Bir grafik tasarımcı paralelkenar şeklinde bir raf tasarlamıştır ve şekilde gösterildiği gibi 3 raf yerleştirecektir. Şekil 6, E ve F noktaları \(\overline {AD} \) ve \(\overline {BC} ,\) kenarlarının orta noktalarıdır. sırasıyla. Montajları yapabilmek için raflarda kesimler yapmanız gerekiyor. Kesimler rafların hangi kısmından yapılmalı?

Problemin ifadesi: Problemde verilen koşullar nedeniyle aşağıdakiler sağlanmaktadır:

\(ED = EA = CF = BF\)

Yardımcı yapılar olarak, \(\overline {CB} \) ve \(\overline {DA} \) kenarlarını uzatacağız. A noktasından \(A\)'ye uzanan ve \(\overline {EB} \) kenarına paralel bir çizgi ve \(C\;\) noktasından geçen \(\overline {EB} \) kenarına paralel bir çizgi çiziliyor {DF} \).

Thales Teoremini uygulamak için \(\overline {EB} \) ve \(\overline {DF} \) doğru parçalarının paralel olduğunu göstermek için Thales Teoreminin Tersi'ni kullanacağız.

Çözüm

Yapısal olarak \(EAIB\) dörtgeni bir paralelkenardır, dolayısıyla onlar bir paralelkenarın zıt kenarları olduklarından EA=BI elde ederiz. Şimdi:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Thales Teoreminin tersini uygulayarak şu sonuca varabiliriz:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) segmentlerini ve BC ve CI segmentlerini çaprazları olarak alarak; gibi:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

\(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) ve \(\overline {AC} \) ve \(\overline {EB} \) segmentlerini enineleri olarak alırsak şunu elde ederiz:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \sağ)}} = \frac{1}{2}\)

Benzer şekilde, gösterilir:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Yanıtlar

Çapraz kesimler \(\overline {AC} \) \(G\;\) ve \(H\) noktalarında yapılmalıdır, öyle ki:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Aynı şey \(\overline {EB} \) ve \(\overline {DF} \) rafları için de geçerlidir.