Визначення неевклідової геометрії

В основному, неевклідові геометрії – це ті, що виникають із сумніву т. зв. 5 постулат Евкліда, тому загальна характеристика роботи Евкліда, який був грецьким математиком і геометром, є парадигмальним для Геометрія, вважатися одним із його засновників. Достеменно відомо безпеки який жив у місті Олександрія, культурному центрі античності, близько 300 року до н.е. c.

Його робота Елементи він починається серією «принципів», що складається зі списку з 23 визначень; далі 5 постулатів, посилаючись на фігури конкретно геометричні; і 5 загальних аксіом, спільних для інших математичних дисциплін. Далі, після принципів, Евклід вводить «судження» двох типів: задачі, віднесені до

будівля фігур з правилом і циркулем; і теореми, що стосуються демонстрації властивостей, які деякі геометричні фігури.

П'ятий постулат Евкліда

Він стверджує, що «Якщо пряма, що падає на дві інші прямі, робить внутрішні кути тієї ж сторони меншими за дві прямі, тоді, якщо дві прямі продовжити нескінченно, вони перетинаються на стороні, на якій кути менші за два прямий”. Якби кути були прямими, то такі прямі, згідно з визначенням № 23, були б паралельними ("Паралельними називають прямі, які, якщо вони знаходяться в одній площині і тривають нескінченно, не перетинаються ні в якому напрямку.”).

Цей постулат, складніший за попередні, сам по собі не був безсумнівним: не було очевидно, що, продовжуючи прямі нескінченно, вони перетинатимуться на тій стороні, де кути були менші від двох прямих, оскільки це неможливо було б довести за допомогою будівля. Тоді можливість того, що лінії наближалися одна до одної необмежено, ніколи не перетиналися, залишалася відкритою.

Спроби довести п'ятий постулат

Саме з цієї причини від античності до середини 19 століття була низка невдалих спроб довести п’ятий постулат: доказ завжди досягався; але вводячи якийсь інший додатковий постулат (логічно еквівалентний п'ятому), відмінний від постулатів Евкліда. Тобто п’ятий постулат не вдалося довести, а замінили на еквівалентний.

Прикладом цього є постулат Джона Плейфера (с. XVIII): «Одна точка, паралельна цій прямій, проходить через точку за межами прямої, що знаходиться в тій же площині." (відомий як "паралельний постулат”). Неевклідові геометрії виникають якраз із невдалих спроб довести п’ятий постулат евклідової системи.

Тест на абсурдність Сакері

У 1733 році італійський математик Джироламо Саккері спробував довести абсурдність п’ятого постулату Евкліда. Для цього він побудував чотирикутник (відомий як «Чотирикутник Саккері”, в якому одна пара кутів є прямими) і стверджував, що п’ятий постулат еквівалентний твердженням, що характерні кути (ті, що протилежні парі прямих кутів) цього чотирикутника також є прямими. тоді їх три гіпотеза можливі, взаємовиключні: що два характерних кути є прямими, гострими або тупими. Щоб довести п'ятий постулат абсурдом, необхідно було довести (не вдаючись до п'ятого постулювали), що гіпотези тупого та гострого кутів мають на увазі протиріччя і, отже, були помилковий.

Саккері вдалося довести, що гіпотеза про тупий кут суперечлива, але у випадку з гострим кутом йому не вдалося. Навпаки, він вивів низку теорем, що відповідають і несумісні з евклідовою геометрією. Нарешті він дійшов висновку, що, враховуючи дивність цих теорем, гіпотеза повинна бути хибною. Отже, він вважав, що довів абсурдним п’ятий постулат; однак він випадково довів важливий набір теорем неевклідової геометрії.

«Одночасне» відкриття неевклідових геометрій

Карл Ф. Гаусс у ХІХ столітті першим запідозрив, що п’ятий постулат неможливо довести за допомогою інших чотирьох (тобто, що це незалежно) і в уявленні про можливість неевклідової геометрії, яка була заснована на чотирьох евклідових постулатах і на запереченні п'ятий. Він так і не опублікував своє відкриття: це вважається випадком одночасне відкриття, тому що він мав трьох незалежних референтів (сам Гаусс, Янош Боляй і Микола Лобачевський).

Відмова до п'ятий закон Евклідова передбачає дві можливості (з використанням еквівалентної формулювання Плейфера): через точку за межами прямої лінії або не проходить паралельно, або проходить більше одного паралельного проходу. Серед неевклідових геометрій ми знаходимо, наприклад, геометрію "уявний” Лобачевського, пізніше відомий як “гіперболічний"- відповідно до, "Дано зовнішню точку лінії, через цю точку проходять нескінченні прямі, що перетинаються, нескінченні прямі, що не перетинаються, і лише дві паралельні прямі.», на відміну від унікальної евклідової паралелі; або еліптична геометрія Бернхарда Рімана, яка стверджує, що «Через точку поза прямою не проходить паралель цієї прямої.”.

Застосування та наслідки відкриття

В даний час відомо, що в локальному просторі обидві геометрії дають приблизні результати. Відмінності з’являються, коли фізичний простір описується тією чи іншою геометрією, враховуючи великі відстані. Хоча ми продовжуємо використовувати евклідову геометрію, оскільки вона найпростіше описує наш простір у локальному масштабі, відкриття неевклідової геометрії було вирішальним, оскільки це означало радикальну трансформацію розуміння істин науковий.

До того часу вважалося, що евклідова геометрія дійсно описує простір. Доводячи можливість опису його через іншу геометрію, з іншими постулатами, необхідно було переосмислити критерії, за якими можна було припустити те чи інше пояснення, наприклад «правда”.

Бібліографія

МАРТІНЕС ЛОРКА, А. (1980) «Етика Сократа та їх вплив на думав Occidental», в Revista Baética: Estudios de Arte, Географія та історія, 3, 317-334. Університет Малаги.

Теми з неевклідової геометрії