Що таке рівняння Максвелла і як вони визначаються?

Анхель Замора Рамірес | лип. 2022
Диплом фізика

До цих рівнянь говорилося, що електричні та магнітні сили є «силами на відстані», не було відомо про фізичні засоби, за допомогою яких відбувався б цей тип взаємодії. Після багатьох років досліджень електрика Ю магнетизмМайкл Фарадей припустив, що в просторі між зарядами й електричними струмами повинно бути щось фізичне, що дозволило б їм взаємодіяти один з одним і проявляти всі електричні та магнітні явища, які були відомі, він спочатку назвав їх «силовими лініями», що призвело до ідеї існування електромагнітного поля.

Спираючись на ідею Фарадея, Джеймс Клерк Максвелл розробляє теорію поля, представлену чотирма диференціальними рівняннями в частинних похідних. Максвелл назвав це «електромагнітною теорією» і був першим, хто включив цей тип математичної мови у фізичну теорію. Рівняння Максвелла в їх диференціальній формі для вакууму (тобто за відсутності діелектрика та/або поляризаційних матеріалів) такі:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon _{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Рівняння Максвелла для вакууму в його диференціальній формі

Де \(\vec{E}~\) — електричне поле, \(\vec{B}~\) — магнітне поле, \(\rho ~\) — густина електричний заряд, \(\vec{J}~~\) — вектор, асоційований з a електричний струм, \({{\epsilon }_{0}}~\) — електрична проникність вакууму, а \({{\mu }_{0}}~~\) — магнітна проникність вакууму. Кожне з цих рівнянь відповідає a закон електромагнетизму і має значення. Нижче я коротко поясню кожен із них.

Закон Гаусса

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon _{0}}}\)
Закон Гаусса для електричного поля

Це перше рівняння говорить нам про те, що електричні заряди є джерелами електричного поля, це електричне поле «відходить» безпосередньо від зарядів. Крім того, напрямок електричного поля визначається знаком електричного заряду, який його створює, а те, наскільки близько розташовані лінії поля, вказує на величину самого поля. Зображення нижче дещо підсумовує щойно згадане.

Ілюстрація 1. З Studiowork.- Схема електричних полів, створених двома точковими зарядами, одним позитивним і одним негативним.

Своєю назвою цей закон зобов’язаний математику Йоганну Карлу Фрідріху Гауссу, який сформулював його на основі своєї теореми розбіжності.

Закон Гаусса для магнітного поля

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Закон Гаусса для магнітного поля

Цей закон не має конкретної назви, але так він називається через схожість з попереднім рівнянням. Сенс цього виразу полягає в тому, що не існує «магнітного заряду», аналогічного «електричному заряду», тобто немає магнітних монополів, які є джерелом магнітного поля. Ось чому, якщо ми розламаємо магніт навпіл, ми все одно матимемо два подібних магніту, обидва з північним і південним полюсами.

Закон Фарадея

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Закон індукції Фарадея

Це знаменитий закон індукції, сформульований Фарадеєм, коли в 1831 році він відкрив, що мінливі магнітні поля здатні індукувати електричні струми. Це рівняння означає, що магнітне поле, яке змінюється з часом, здатне індукувати навколо нього електричне поле, яке, у свою чергу, може викликати переміщення електричних зарядів і створення a потік. Хоча спочатку це може здатися дуже абстрактним, закон Фарадея лежить в основі роботи двигунів, електрогітар та індукційних плит.

Закон Ампера–Максвелла

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Перше, що говорить нам це рівняння, це те, що електричні струми створюють магнітні поля навколо напрямку струму, і це величина генерованого магнітного поля залежить від величини цього, це було те, що спостерігав Ерстед, і що пізніше Ампер зміг сформулювати. Однак за цим рівнянням є дещо цікаве, а саме другий член збоку закон рівняння було введено Максвеллом, оскільки спочатку цей вираз був непослідовним з іншими, зокрема, призвело до порушення закону збереження електричного заряду. Щоб уникнути цього, Максвелл просто ввів цей другий термін, щоб уся його теорія була послідовною, цей термін отримав назву «струм зміщення», і на той час не було експериментальних підтверджень цього. створить резервну копію

Ілюстрація 2. De Rumruay.- Електричний струм, що протікає через кабель, створює навколо нього магнітне поле відповідно до закону Ампера.

Значення струму зміщення полягає в тому, що так само, як і магнітне поле змінна індукує електричне поле, електричне поле, яке змінюється з часом, здатне генерувати поле магнітний. Першим експериментальним підтвердженням струму зміщення стала демонстрація існування електромагнітних хвиль Генріхом Герцем у 1887 році, більш ніж через 20 років після публікації теорії Максвелл. Однак перше пряме вимірювання струму зміщення було зроблено М. Р. Ван Каувенберге в 1929 році.

світло - це електромагнітна хвиля

Одним із перших приголомшливих передбачень, зроблених рівняннями Максвелла, є існування електромагнітні хвилі, але не тільки це, вони також показали, що світло мало бути хвилею цього Тип. Щоб трохи зрозуміти це, ми пограємо з рівняннями Максвелла, але перед цим ось форма будь-якого хвильового рівняння:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Загальний вигляд хвильового рівняння в трьох вимірах.

Де \({{\nabla }^{2}}\) — оператор Лапласа, \(u\) — хвильова функція, а \(v\) — швидкість хвилі. Ми також будемо працювати з рівняннями Максвелла в порожньому просторі, тобто за відсутності електричних зарядів і електричних струмів, тільки електричне і магнітне поля:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

І ми також будемо використовувати наступне ідентичність векторне числення:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Якщо ми застосуємо цю тотожність до електричних і магнітних полів, використовуючи рівняння Максвелла для порожнього простору вище, ми отримаємо такі результати:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Зверніть увагу на подібність цих рівнянь до хвильового рівняння вище, в висновок, електричні та магнітні поля можуть поводитися як хвилі (електромагнітні хвилі). Якщо ми визначимо швидкість цих хвиль як \(c\) і порівняємо ці рівняння з хвильовим рівнянням вище, то зможемо сказати, що швидкість дорівнює:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) і \({{\epsilon }_{0}}\) — магнітна та електрична проникність вакууму, відповідно, і обидва є константами універсалії, значення яких \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) і \({{\ епсилон } 0}}=8,8542\разів {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), замінивши ці значення, ми отримаємо, що значення \(c\) дорівнює \(c=299 792 458\frac{m}{s}\приблизно 300 000~км/с\), що точно відповідає швидкості світло.

Завдяки цьому невеликому аналізу ми можемо зробити три дуже важливі висновки:

1) Електричні та магнітні поля можуть поводитися як хвилі, тобто існують електромагнітні хвилі, які також здатні поширюватися у вакуумі.

2) Світло – електромагнітна хвиля, швидкість якої залежить від магнітної проникності та діелектричної проникності середовища, через яке воно поширюється, у порожньому просторі світло має швидкість приблизно 300 000 км/с.

3) Оскільки магнітна проникність і електрична проникність є універсальними константами, то швидкість світла також є універсальною постійною, але це також означає, що її значення не залежить з рамка від якого він вимірюється.

Це останнє твердження на той час було дуже суперечливим.Як це можливо, що швидкість світло однакове незалежно від руху людини, яка його вимірює, і від руху джерела світла. світло? Швидкість чогось має бути відносною, чи не так? Що ж, це стало переломним моментом для фізики того часу, і цей простий, але глибокий факт призвів до розробки спеціальної теорії відносності Альбертом Ейнштейном у 1905 році.