Що таке рівняння Дірака і як воно визначається?

Поль Адріан Моріс Дірак (1902-1984) запропонував наприкінці 1928 року одне з найважливіших рівнянь і наслідки для фізики сучасної ери, і це тому, що вона об’єднує принципи квантової механіки з принципами відносність.

Цитата (APA)

Евелін Мейті Марін | серп. 2022
Промисловий інженер, магістр фізики та освіта

Це рівняння можна виразити кількома способами, найбільш компактним і спрощеним є те, що вважається одним із найбільш естетичних рівнянь у науці:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Де:
i: уявна одиниця
m: маса спокою електрона
ħ: приведена стала Планка
c: швидкість світла
: оператор підсумовування часткових похідних
: математична хвильова функція електрона

Абсолютне значення квадрата хвильової функції являє собою ймовірність знайти частинку в певному положенні, розглядаючи її Енергія, швидкість, серед інших параметрів, а також її еволюція в часі. Іншими словами, рівняння Поля Дірака використовує матриці, що діють на вектори, і являє собою еволюцію рівняння Шредінгера в релятивістській квантовій фізиці.

Рівняння Дірака спочатку використовувалося для опису поведінки електрона, позбавленого взаємодії, хоча його застосування поширюється на опис субатомних частинок, коли вони рухаються зі швидкостями, близькими до швидкості світла. Дірак зумів пояснити на субатомному масштабі подвійну поведінку хвилі та частинки, яка вже була відома на той час, оскільки він розглядав такі властивості частинок, як кутовий момент внутрішній або спін.

Іншим значним внеском рівняння Дірака є передбачення антиматерії, існування якої пізніше було продемонстровано (у 1932 році) Карлом Д. Андерсон за допомогою хмарної камери, за допомогою якої він ідентифікував позитрон. Це також значною мірою пояснює тонку структуру, ідентифіковану в атомних спектральних лініях.

На зображенні зображено знамениту фотографію, зроблену під час конференції «Фотони та електрони» в 1927 році, на якій зображені деякі з найвидатніших вчених в історії. На небесній окружності Поль Дірак.

Фон рівняння Дірака

Щоб зрозуміти міркування, які взяв Дірак при розробці свого рівняння, а також Основи, на яких базувався його підхід, важливо знати попередні теорії модель.

По-перше, це знамените рівняння Шредінгера квантової механіки, опубліковане в 1925 році, яке перетворює величини в квантові оператори. Це рівняння використовує хвильову функцію (), взявши за вихідну точку класичне рівняння енергія E = p2/2m і включає в себе правила квантування як імпульсу (p), так і енергії (І):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

Часткова похідна /t виражає еволюцію системи за часом. Перший термін у квадратній дужці стосується Кінетична енергія (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), а другий термін стосується потенційна енергія.

Примітка: у теорії відносності Ейнштейна змінні простору та часу мають однаково входити до рівнянь, чого немає в рівнянні Шредінгера, в якому час виступає як похідна, а положення як друга похідна.

Тепер, протягом століть, вчені намагалися знайти модель фізики, яка об’єднує різні теорії, а у випадку Рівняння Шредінгера враховує масу (m) і заряд електрона, але не враховує релятивістські ефекти, які проявляються при високих швидкості. З цієї причини в 1926 році вчені Оскар Кляйн і Волтер Гордон запропонували рівняння, яке враховує принципи відносності:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Проблема з рівнянням Клейна-Гордона полягає в тому, що воно базується на рівнянні Ейнштейна, в якому енергія зведена в квадрат, тому це рівняння (Клейна-Гордона) включає в себе квадрат похідної за часом, і це означає, що він має два розв’язки, враховуючи від’ємні значення часу, і це не має сенсу фізичний. Крім того, він має незручність генерувати значення ймовірності, менші за нуль, як рішення.

Намагаючись усунути невідповідності, пов’язані з негативними рішеннями певних величин, які не підтверджують ці результати, Пол Дірак почав із рівняння Кляйна-Гордона до лінеаризувати його, і в цій процедурі він ввів два параметри у формі матриць розмірності 4, відомих як матриці Дірака або також матриці Паулі, і які є представленням алгебри спина. Ці параметри позначаються як  і ` (у рівнянні енергії вони представлені як E = pc + mc2):

За тим, що є рівність виконується умова ´2 = m2c4

Загалом, правила квантування призводять до операцій із похідними, які застосовуються до скалярних хвильових функцій, однак, оскільки параметри α і β є матрицями 4x4, диференціальні оператори втручаються в чотиривимірний вектор (), відомий як спінор.

Рівняння Дірака вирішує проблему негативної енергії, представлену рівнянням Клейна-Гордона, але рішення негативної енергії все одно з’являється; тобто частинки з властивостями, подібними до властивостей іншого розчину, але з протилежним зарядом, Дірак назвав їх античастинками. Крім того, за допомогою рівняння Дірака показано, що спін є результатом застосування релятивістських властивостей до квантового світу.