Що таке ієрархія операцій?

Ієрархія операцій — це математична домовленість, яка встановлює порядок, у якому слід виконувати об’єднані обчислювальні дії в те саме математичне твердження, тобто коли є математичне твердження, де є математичні операції (додавання, віднімання, множення, ділення, степені та корені) разом, це потрібно робити в певному порядку, щоб отримати результат поширений.

Але навіщо потрібна ієрархія? Щоб відповісти на нього, ми спочатку повинні добре зрозуміти природу математичних операцій, які складаються з перетворення, яке застосовується до елементів множини. Згадаймо, наприклад, множину дійсних чисел, тобто ті числа, які ми всі знаємо. Якщо ми візьмемо число a і додамо його до іншого числа b, то отримаємо інше число c, яке належить тому ж набору дійсних чисел, тобто:

a+b = c

Крім того, порядок представлення доданків не впливає на кінцевий результат, тобто на те a+b = b+a, ця властивість називається комутативністю. Важливо говорити про додавання, тому що це основна операція, з якої походять усі інші. Множення - це не що інше, як серія повторюваних додавань. Якщо у нас знову є число a і ми множимо його на число b, ми іноді додаємо число b із самим собою або, як альтернатива, додаємо b, помножене на число a, із самим собою. Останнє так, оскільки множення є комутативним, як і додавання, це означає, що:

a⋅b = b⋅a. Вищезазначене можна виразити так:

Ми можемо легко уявити це на прикладі. Виконаємо множення 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

А що, якщо нам доведеться виконати операцію, де ми поєднали додавання з множенням? Наприклад: a⋅b+c. У якому порядку потрібно виконувати додавання і множення? Якій операції ми повинні віддати перевагу? Якщо ми спочатку виконаємо множення і розвинемо його як суму, ми матимемо:

Тепер, якщо ми спочатку виконаємо додавання, а потім множення, ми отримаємо:

Оскільки додавання комутативне, ми можемо перегрупувати праву частину рівняння, щоб отримати:

Порівнюючи результати, отримані в обох ситуаціях, легко зрозуміти, що:

Отже, ми робимо висновок, що порядок, у якому вирішено виконувати операції, впливає на отриманий результат. Те саме відбувається, коли ми залучаємо повноваження. Коли ми підводимо число b до степеня c, ми множимо c на число b, помножене на нього самого, тобто:

Тепер ми перейдемо до виконання наступної комбінованої операції, що включає множення та ступінь a⋅b^в в іншому порядку, як у попередньому випадку. Якщо ми спочатку віддаємо пріоритет потужності, ми маємо:

Тепер, якщо ми спочатку виконаємо множення, а потім ступінь, ми матимемо:

Використовуючи комутативність множення, ми можемо перегрупувати праву частину рівняння так:

Знову ж таки, ми можемо порівняти результати, отримані шляхом виконання операцій в іншому порядку, щоб зрозуміти, що:

Також в цьому випадку порядок виконання операцій впливає на отриманий результат. Отже, в якому порядку слід виконувати операції? Ієрархія операцій встановлює, що степені знаходяться на вищому рівні ієрархії, ніж множення, таким чином, що степені мають пріоритет у математичному викладі. У свою чергу, множення мають вищий рівень ієрархії, ніж додавання.

Але як щодо віднімання, ділення та коренів? Віднімання є протилежною до додавання операцією, коли ми віднімаємо число b від числа a, ми отримуємо інше число c таке, що c+b=a. Щось подібне відбувається з діленням і відніманням. Якщо поділити число a на b і отримати в результаті число c, то знайдено таке число, що b⋅c=a. І, нарешті, обчислюючи корінь b із числа a, ми знаходимо таке число c, що c^b=a. Ці еквівалентності ставлять віднімання, ділення та корінь на той самий рівень ієрархії, що й додавання, множення та ступінь відповідно.

Вправляння в дужках

Що станеться, якщо ми захочемо надати пріоритет деяким операціям у математичному викладі, незалежно від рівня їх ієрархії? Для цього використовуються круглі та квадратні дужки. Припустимо, ми маємо формулювання принципу a⋅b+c. З того, що ми сказали раніше, ми вже знаємо, що спочатку потрібно виконати множення, а потім додавання. Але що, якби ми хотіли, щоб цього не було? Щоб зробити це, нам довелося б використати дужки або квадратні дужки, щоб відокремити додавання від множення і таким чином надати пріоритет першому обчисленню додавання, тобто: a⋅(b+c). Це призводить до того, що оператори, розділені дужками та квадратними дужками, мають найвищий пріоритет над усіма іншими операціями.

Зважаючи на все вищесказане, ієрархія операцій, або порядок їх виконання, такий:

1) Дужки та дужки
2) Сили і коріння
3) Множення і ділення
4) Додавання і віднімання

Список літератури

ч. Бенке, Ф. Бахман, К. Фладт, В. Сасс, Х. Геріке, Ф. Гогенберг, Г. Пікерт, Х. Рау і С. ч. Гулд. (1983). Основи математики: І том. Кембридж, Массачусетс і Лондон: The MIT Press.