Означення квадратичної функції

Квадратична функція дійсної змінної, форма якої виражена.

\(f\ліворуч( x \праворуч) = a{x^2} + bx + c\)

Де змінна \(x\), \(a, b\) і c є дійсними константами, які називаються коефіцієнтами квадратичної функції з \(a \ne 0.\)

У таблиці наведено загальні приклади квадратичних функцій і ситуації, які вони можуть моделювати, щоб пізніше проілюструвати їх пряме застосування з реальних проблем.

Квадратична функція	Ситуація, яку можна моделювати
\(f\ліворуч( x \праворуч) = {x^2}\)	Змінна \(y\) - це площа квадрата, сторона якого дорівнює \(x\).
\(f\ліворуч( x \праворуч) = \pi {x^2}\)	Змінна \(y\) - це площа кола, радіус якого дорівнює \(x\).
\(f\ліворуч( x \праворуч) = 100 – 4,9{x^2}\)	Змінна \(y\) - це висота об'єкта, який був упущений на висоті 100, а \(x\) - це час, що минув.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Змінна \(y\) — це висота гарматного ядра, кинутого під кутом 45° зі швидкістю 60 м/с, а \(x\) — це час, що минув.

Загальна формула і квадратична функція

Якщо для \(x = \alpha \) квадратична функція дорівнює нулю, то число \(\alpha \) називається коренем квадратичної функції, так, \(\alpha \) є розв'язком квадратного рівняння

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Загальна формула розв’язування квадратних рівнянь полягає в тому, що корені квадратної функції такі:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Зі сказаного встановлюється наступний зв'язок між коренями і коефіцієнтами квадратичної функції:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Через помітні продукти встановлюється наступна ідентичність:

\(a{x^2} + bx + c = a\ліворуч( {x – \альфа} \праворуч)\ліворуч( {x – \бета} \праворуч)\)

Аналогічно тому, що встановлено в загальній формулі, встановлено, що квадратичну функцію можна виразити у вигляді:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

З \(h = – \frac{b}{{2a}}\) і \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Вирішивши рівняння:

\(a{\ліворуч( {x – h} \праворуч)^2} + k = 0\)

Отримується:

\(\ліворуч| {x – h} \праворуч| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Зі сказаного вище можна зробити висновок, що \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), тільки якщо константи \(k\) і \(a\) складаються з протилежними знаками, ця квадратична функція має дійсні корені, які: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Якщо константи \(k\) і \(a\) мають однаковий знак, то квадратична функція не має дійсних коренів.

Коли \(k = 0,\;\;\)квадратична функція має лише один корінь.

Приклади в реальному житті

Приклад застосування 1: Економіка

Школа хоче організувати футбольний турнір, де кожна команда зіграє з іншою лише один раз. Існує бюджет у розмірі 15 600 доларів США на вартість арбітражу, якщо вартість арбітражу становить 200 доларів США за гру. Скільки команд можна зареєструвати на турнір?

Постановка проблеми: ми повинні знайти функцію, яка обчислює кількість збігів, коли ми маємо \(n\) команд, щоб підрахувати їх, ми зробимо припущення, що команда 1 грає першою з усіма іншими, тобто \(n – 1\) сірники. Команда 2 тепер гратиме з усіма іншими, тобто з \(n – 2\), оскільки вони вже гратимуть з командою 1. Команда 3 вже грала з командами 1 і 2, тому їм доведеться грати з командами n-3.

З наведених міркувань ми приходимо до:

\(f\ліворуч( n \праворуч) = n – 1 + n – 2 + \lкрапки + 2 + 1\)

\(f\ліворуч(n \справа) = \frac{{n\ліво({n – 1} \праворуч)}}{2}\)

Функція витрат є:

\(C\ліворуч( n \справа) = 200f\ліво(n \праворуч) = 100n\ліво({n – 1} \праворуч)\)

Маючи бюджет у 15 600 доларів, ми маємо рівняння:

\(100n\ліво( {n – 1} \праворуч) = 15600\)

рішення рівняння

\(100n\ліворуч( {n – 1} \праворуч) = 15600\) Початкова ситуація
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Поділіть кожну частину рівняння на 100
\({n^2} – n – 156 = \) Додайте \( – 156\) до кожної сторони рівняння
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Ми маємо \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) і \( – 13 + 12 = – 1\)
Це було розкладено на множники.
Розв’язки рівняння \(n = – 12,\;13\)
Відповідь: Бюджету достатньо для реєстрації 13 команд.

Приклад застосування 2: Економіка

Столична автобусна компанія спостерігає, що за восьмигодинний робочий день кожен її автобус перевозить в середньому тисячу пасажирів. Щоб мати можливість підвищити зарплату своїм працівникам, вам потрібно підвищити вартість проїзду, яка зараз становить 5 доларів США; Економіст підрахував, що за кожний песо, на який подорожчає проїзд, кожна вантажівка втрачатиме в середньому 40 пасажирів щодня. Компанія підрахувала, що, щоб покрити підвищення зарплати, вона повинна щодня отримувати додатково $760 за вантажівку.Наскільки має зрости тариф?

Постановка задачі: нехай \(x\) — сума песо, на яку подорожчає квиток, для якої \(5 + x\) — нова вартість квитка. З таким самим збільшенням кожна вантажівка перевозитиме в середньому \(1000 – 40x\) пасажирів на день.

Нарешті, дохід на вантажівку становить:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \праворуч)\)

Щоб покрити підвищення зарплати, кожен автобус повинен зібрати: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

Нарешті ми маємо рівняння:

\( – 40\ліворуч( {x + 5} \праворуч)\ліворуч( {x – 25} \праворуч) = 5760\)

рішення рівняння
\( – 40\ліворуч( {x + 5} \праворуч)\ліворуч( {x – 25} \праворуч) = 5760\) Початкова ситуація
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Поділіть на \( – 40\) кожну частину рівняння
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Розроблено чудовий продукт
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 було додано до кожного
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Ми маємо \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ праворуч) = 19\) і \( – 19 – 1 = – 20\)
факторизований
Розв'язки рівняння \(n = 1,19\)
Відповідь: ціна квитка може зрости на $1 або $19 песо.

Приклад застосування 3: Економіка

Хлібний магазин продає в середньому 1200 булочок на тиждень по 6 доларів за штуку. Одного разу він вирішив підняти ціну до 9 доларів за штуку; тепер її продажі зменшилися: вона продає в середньому лише 750 булочок на тиждень. Якою має бути ціна кожної булочки, щоб виручка торгової точки була якомога більшою? Припустимо, що між попитом і ціною існує лінійна залежність.

Постановка проблеми: якщо припустити, що між попитом D і ціною \(x,\) існує лінійна залежність

\(D = mx + b\)

Коли \(x = 6; D = 1200;\;\), що генерує рівняння:

\(1200 = 6m + b\)

Коли \(x = 9; D = 750;\;\) lo і отримуємо рівняння:

\(750 = 9m + b\)

Розв’язуючи систему рівнянь, залежність між попитом і ціною є:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\ліворуч( {x – 14} \праворуч)\)

Дохід дорівнює

\(I\ліворуч( x \справа) = Dx = – 150x\ліворуч( {x – 14} \праворуч)\)

Рішення

Графік доходу у вигляді параболи, яка розкривається вниз і максимального значення досягає у вершині на який можна знайти шляхом усереднення коренів квадратичної функції, яка моделює дохід. Корені \(\альфа = 0,\;\;\бета = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\ліво( h \справа) = – 150\ліво( 7 \праворуч)\ліво( {7 – 14} \праворуч) = 7350\)

Відповідь

Максимальний дохід становить $7350 і досягається при ціні $7; продаючи в середньому 1050 рулонів на тиждень.

Приклад застосування 4: Економіка

Вартість виготовлення \(n\) стільців за один день можна розрахувати за допомогою квадратичної функції:

\(C\ліворуч (n \праворуч) = {n^2} – 200n + 13000\)

Визначте мінімальні витрати, яких можна досягти.

Постановка проблеми

Графік \(C\left( n \right)\) — це парабола, яка відкривається вгору та досягне точки мінімуму в \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ ліворуч ( { – 200} \праворуч)}}{{2\ліворуч( 1 \праворуч)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Відповідь

Найнижча можлива вартість дорівнює $3000 і досягається виготовленням 100 стільців.

Приклад застосування 5: Геометрія

Ромб має площу 21 см2; Якщо сума довжин його діагоналей дорівнює 17 см, то яка довжина кожної діагоналі ромба?

Постановка задачі: Площа ромба обчислюється за допомогою:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

З \(D\) і \(d\) довжинами його діагоналей також відомо:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Підставляючи ви отримуєте:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Нарешті ми отримуємо рівняння

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Рішення
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Початкова ситуація
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Помножте на \( – 40\) кожну частину рівняння
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Продукт розроблено.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Ми маємо \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ праворуч) = 42\) і \( – 14 – 3 = – 17\)
факторизований
Розв'язки рівняння \(d = 3,14\)
відповідь:

Діагоналі ромба дорівнюють 14 см і 3 см.

Приклад застосування 6: Геометрія

Бажано побудувати прямокутний курник площею 140 м2, використовуючи досить довгу огорожу, яка буде формувати дно курника. Інші три сторони будуть побудовані з 34 погонних метрів дротяної сітки, скільки має бути довжина та ширина курника, щоб використовувати загальну сітку?

Яку максимальну площу за однакових умов можна огородити тією ж сіткою?

Постановка задачі. Відповідно до схеми площа дорівнює:

\(A\ліво( x \справа) = x\ліво( {34 – 2x} \праворуч) = 2x\ліво( {17 – x} \праворуч)\)

Де \(x\) — довжина сторони, перпендикулярної до огорожі.

Щоб дізнатися розміри прямокутника так, щоб він мав площу 140 м2, достатньо розв’язати рівняння

\(2x\ліворуч( {17 – x} \праворуч) = 140\)

Оскільки графік \(A\left( x \right)\) є параболою, яка відкривається донизу, щоб обчислити максимальне значення площі, достатньо обчислити вершину параболи.

Відповіді
Розміри прямокутника з площею 140 м2
Довжина сторони, перпендикулярної паркану

\(x\) Довжина сторони, паралельної огорожі

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Перша координата вершини \(h = \frac{{17}}{2}\) і

\(A\ліворуч (h \праворуч) = \frac{{{289}}{2}\)

Площа є максимальною, коли перпендикулярна сторона має розмір \(\frac{{17}}{2}\;\)м, а паралельна сторона має розміри 17м, вона має розмір 17м, значення максимальної досягнутої площі становить \(\frac{ {289}} {2}\)м2.

Графік квадратичної функції

З геометричної точки зору корені — це точки, де графік функції перетинає вісь \(x\).

З виразу

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Установимо загальний вигляд графіка квадратичної функції.

Перший випадок \(a > 0\) і \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\ліворуч( x \праворуч)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

У цьому випадку графік задовольняє:

Симетричний: з віссю симетрії \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Тобто \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \праворуч)\)

Він знаходиться над віссю \(x\) і не перетинає її. Тобто \(f\left( x \right) > 0\) не має справжніх коренів.

Найнижча точка на графіку знаходиться в точці \(\left( {h, k} \right)\). Тобто \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Другий випадок \(a < 0\) і \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\ліворуч( x \праворуч)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

У цьому випадку графік задовольняє:

Симетричний: з віссю симетрії \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Тобто \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \праворуч)\)

Він знаходиться під віссю \(x\) і не перетинає її. Тобто \(f\left( x \right) < 0\) не має справжніх коренів. Найвища точка на графіку знаходиться в точці \(\left( {h, k} \right)\). Це \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Третій випадок \(a > 0\) і \(k \le 0\).

Цей випадок подібний до першого випадку, різниця в тому, що тепер ми маємо один дійсний корінь (коли \(k = 0\) ) або два дійсних кореня.

У цьому випадку графік задовольняє:

Симетричний: з віссю симетрії \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Тобто \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \праворуч)\)

Він перетинає вісь \(x\), тобто має принаймні один дійсний корінь.

Найнижча точка на графіку знаходиться в точці \(\left( {h, k} \right)\). Тобто \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Четвертий випадок \(a < 0\) і \(k \ge 0\). Цей випадок подібний до другого випадку, різниця в тому, що тепер ми маємо один дійсний корінь (коли \(k = 0\) ) або два дійсних кореня. У цьому випадку графік задовольняє:

Симетричний: з віссю симетрії \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Тобто \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \праворуч)\)

Найнижча точка на графіку знаходиться в точці \(\left( {h, k} \right)\). Тобто \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Графік квадратичної функції називається параболою, а її елементами, які потрібно виділити, є вісь симетрії, точки її перетину до осі \(x\) і вершини, яка є точкою на графіку функції, де вона досягає найнижчої або найвищої точки залежно від справа.

На підставі проведеного аналізу можна констатувати:

Парабола, пов’язана з квадратичною функцією \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), має вершину в \(\left( {h, k} \right)\), де :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\ліворуч (h \праворуч)\)

приклади

Квадратична функція \(y = {x^2}\)	важливі елементи
Вершина параболи	\(\ліворуч( {0,0} \праворуч)\)
Вісь симетрії параболи	\(x = 0\)
Перетинається з віссю \(x\).	\(\ліворуч( {0,0} \праворуч)\)

Квадратична функція \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	важливі елементи
Вершина параболи	\(\ліворуч( {2,0} \праворуч)\)
Вісь симетрії параболи	\(x = 2\)
Перетинається з віссю \(x\).	\(\ліворуч( {2,0} \праворуч)\)

Квадратична функція \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	важливі елементи
Вершина параболи	\(\ліворуч ( { – 2, – 4} \праворуч)\)
Вісь симетрії параболи	\(x = – 2\)
Перетинається з віссю \(x\).	\(\зліва( { – 4,0} \справа);\зліва( {0,0} \справа)\)

Квадратична функція \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	важливі елементи
Вершина параболи	\(\ліворуч( {9,8} \праворуч)\)
Вісь симетрії параболи	\(x = 9\)
Перетинається з віссю \(x\).	\(\зліва( {5,0} \справа);\зліва( {13,0} \справа)\)

Квадратична функція \(y = {x^2} + 1\)	важливі елементи
Вершина параболи	\(\ліворуч( {0,1} \праворуч)\)
Вісь симетрії параболи	\(x = 0\)
Перетинається з віссю \(x\).	Не має

Квадратична функція \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	важливі елементи
Вершина параболи	\(\ліворуч( {2, – 1} \праворуч)\)
Вісь симетрії параболи	\(x = 2\)
Перетинається з віссю \(x\).	Не має

Якщо існують дійсні корені квадратичної функції, ми можемо побудувати з них графік пов’язаної з нею параболи. Припустимо, що \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Для цього необхідно врахувати наступне:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

як

\(k = f\ліворуч( h \праворуч)\)

\(k = f\ліворуч ({\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \праворуч)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ бета } \праворуч)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

приклади

Накресліть графік квадратичної функції \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Рішення

Корені \(\альфа = 3\;\) і \(\бета = – 6\); тоді \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\ліворуч( { – \frac{3}{2}} \праворуч) = 2\ліворуч( { – \frac{3}{2} – 3} \праворуч)\ліворуч( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Отже, ми можемо побудувати наступну таблицю

\(f\ліворуч( x \праворуч) = 2\ліворуч( {x – 3} \праворуч)\ліворуч( {x + 6} \праворуч)\)	важливі елементи
Вершина параболи	\(\ліворуч ( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \праворуч)\)
Вісь симетрії параболи	\(x = – \frac{{{81}}{2}\)
Перетинається з віссю \(x\).	\(\зліва( { – 6,0} \праворуч)\;,\;\зліва( {3,0} \справа)\)

Щоб накреслити графік функції:

\(f\ліворуч( x \праворуч) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Ми будемо використовувати ті самі ідеї, які вже використовували; Для цього спочатку визначимо вершину.

У цьому випадку \(a = 3; b = – 12, \; c = 4\).

Оскільки \(a > 0\), парабола «розкриється і \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Далі ми обчислимо \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Вершина параболи знаходиться в \(\left( {3, – 23} \right)\), а оскільки вона відкривається вгору, то парабола перетинатиме вісь \(x\;\), а її вісь симетрії дорівнює \ (х = 3\).

Тепер розглянемо квадратичну функцію

\(f\ліворуч( x \праворуч) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

У цьому випадку \(a = 3; b = – 12, \; c = 4\).

Оскільки \(a < 0\), парабола «розкриється» вниз і \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \праворуч)\ліворуч( { - 5} \праворуч)}}} \справа) = 1.\) A Далі ми обчислимо \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ праворуч) - 9 = - 4\) Вершина в парабола знаходиться в \(\ліворуч( {1, - 4} \праворуч)\), і оскільки вона відкривається вниз, то парабола не перетинатиме вісь \(x\;\), а її вісь симетрії \(x = 1.\)