Геометрична прогресія Визначення

Послідовність чисел \({{a}_{1}},~{{a}_{2}}, {{a}_{3}},\ldots \); Геометричною прогресією називається, якщо, починаючи з другого, кожен елемент одержується множенням попереднього на число \(r\ne 0\), тобто якщо:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Де:
- Число \(r\) називають відношенням геометричної прогресії.
- Елемент \({{a}_{1}}\) називається першим елементом арифметичної прогресії.

Елементи геометричної прогресії можна виразити через перший елемент і його співвідношення, тобто:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Вони є першими чотирма елементами арифметичної прогресії; загалом \(k-\)-й елемент виражається наступним чином:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Коли \({{a}_{1}}\ne 0,~\) попереднього виразу ми отримуємо:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Наведений вище вираз еквівалентний:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Приклад/вправа 1. Знайти різницю арифметичної прогресії: \(2,6,18,54,\lкрапки \) і знайти елементи \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

instagram story viewer

Рішення

Оскільки \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\), можна зробити висновок, що співвідношення таке:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\ліворуч( {{3}^{20-1}} \справа)=2{{\ліво( 3 \праворуч)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\ліворуч( {{3}^{91-1}} \праворуч)=2{{\ліворуч( 3 \праворуч)}^{90}}\)

Приклад/вправа 2. В арифметичній прогресії маємо: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), визначте відношення геометричної прогресії та запишіть перші 5 елементів.

Рішення

Носіння

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Знайти перші 5 елементів арифметичної прогресії; ми обчислимо \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Перші 5 елементів геометричної прогресії:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\ліворуч (-4 \праворуч),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Приклад/вправа 3. Тонке скло поглинає 2% сонячного світла, яке проходить через нього.

до. Який відсоток світла пройде через 10 із цих тонких стекол?

b. Який відсоток світла пройде через 20 цих тонких стекол?

в. Визначте відсоток світла, що проходить через \(n\) тонких стекол з однаковими характеристиками, розміщених послідовно.

Рішення

Зобразимо 1 загальне світло; поглинаючи 2% світла, то 98% світла проходить через скло.

Ми представимо за допомогою \({{a}_{n}}\) відсоток світла, який проходить через скло \(n\).

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\ліворуч (0,98 \праворуч),~{{a}_{3}}={{\ліворуч( 0,98 \праворуч)}^{2}}\ліворуч( 0,98 \праворуч),\)

Загалом \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

до. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); це говорить нам, що через скло 10 пропускає 81,707% світла

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); це говорить нам, що після скла 20 проходить 66,761%

Сума перших \(n\) елементів геометричної прогресії

Дано геометричну прогресію \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Коли \(r\ne 1\) є сумою перших \(n\) елементів, сума:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Це можна розрахувати з

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Приклад/вправа 4. З прикладу 2 обчисліть \({{S}_{33}}\).

Рішення

У цьому випадку \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) і \(r=-4\)

застосування

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\ліворуч( -4 \праворуч)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Приклад/вправа 5. Припустімо, що людина завантажує фотографію свого домашнього улюбленця та ділиться нею з трьома своїми друзями в соціальній мережі Інтернет, і через годину кожен з їх, ділиться фотографією з трьома іншими людьми, а потім останній, ще через годину, кожен із них ділиться фотографією з трьома іншими людьми Люди; І так продовжується; кожна особа, яка отримує фотографію, ділиться нею з трьома іншими людьми протягом години. Через 15 годин скільки людей вже мають фотографію?

Рішення

У наступній таблиці показані перші розрахунки
Час Люди, які отримали фотографію Люди, які мають фотографію
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Кількість людей, які отримують фотографію за годину \(n\), дорівнює: \({{3}^{n}}\)

Кількість людей, які вже мають фотографію за годину, дорівнює:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\lкрапки +{{3}^{n}}\)

застосування

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

З \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) і \(n=15\)

При цьому:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

геометричні засоби

Дано два числа \(a~\) і \(b,\) числа \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) називають \(k\) геометричними середніми чисел \(a~\) і \(b\); якщо послідовність \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) є геометричною прогресією.

Щоб знати значення \(k\) середніх геометричних чисел \(a~\) і \(b\), досить знати відношення арифметичної прогресії, для цього необхідно врахувати наступне:

\(a={{a}_{1}}, {{a}_{2}}, {{a}_{3}},\lds ,{{a}_{k+1}},{ {a_{k+2}}=b,\)

Зі сказаного вище встановлюємо співвідношення:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Розв’язуючи \(d\), отримуємо:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Приклад/вправа 6. Знайти 2 середні геометричні між числами -15 і 1875.

Рішення

При застосуванні

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

з \(b=375,~a=-15\) і \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 середні геометричні:

\(75,-375\)

Приклад/вправа 7. Людина вклала гроші і отримувала відсотки щомісяця протягом 6 місяців, а її капітал збільшився на 10%. Якщо припустити, що ставка не змінилася, якою була місячна процентна ставка?

Рішення

Нехай \(C\) — інвестований капітал; кінцева столиця \(1,1C\); Щоб вирішити задачу, необхідно розмістити 5 середніх геометричних, застосувавши формулу:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

З \(k=5,~b=1,1C\) і \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1,1C}{C}}=\sqrt[6]{1,1}=1,016\)

Отримана місячна ставка \(1,6%\)