Означення еквівалентних дробів

Два чи більше дробів називаються еквівалентними, якщо вони представляють одну й ту саму кількість, тобто якщо
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
дроби \(\frac{a}{b}\) і \(\frac{c}{d}\) називаються еквівалентними.

Рівнозначні дроби: графічне зображення

Розглянемо квадрат, який ми розіб’ємо на четверті, третини, восьмі та дванадцяті.

З попередніх малюнків ми помічаємо наступні еквівалентності:

Як одержати один чи декілька еквівалентних дробів?

Існує два основних способи отримання дробу, еквівалентного заданому дробу.

1. Помножте чисельник і знаменник на одне і те ж додатне число.

приклади:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Воно ділиться на один і той самий додатний спільний дільник чисельника та знаменника.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{{52 ​​\div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Якщо в дробі і чисельник, і знаменник поділені на один і той самий спільний дільник, відмінний від 1, кажуть, що дріб скорочено.

нескоротні дроби

Дріб називається нескоротним, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1.

Якщо \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\), то дріб \(\frac{a}{b}\) називається нескоротним дробом.

Дано дріб \(\frac{a}{b}\), щоб отримати дріб, еквівалентний цьому дробу, який також нескоротний дріб чисельник і чисельник діляться на найбільший спільний дільник \(a\;\) і \(б.\)

У наступній таблиці наведено приклади нескоротних і скоротних дробів; якщо він скоротний, то показує, як отримати нескоротний еквівалентний дріб.

дріб	Найбільший спільний дільник	Незвідний	нескоротний еквівалентний дріб
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Немає	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	так	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Немає	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	так	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Немає	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Рівносильні дроби: словесне представлення.

У наведеній нижче таблиці показано два різні способи відображення еквівалентної інформації з числової точки зору.

Словесна фраза	Еквівалентна фраза (числово)	Аргументація
У 1930 році в Мексиці 4 людини з 25 людей розмовляли рідною мовою.	У 1930 році в Мексиці 16 осіб зі 100 жителів розмовляли рідною мовою.	Обидва дані були помножені на 4
У 1960 році в Мексиці 104 особи з 1000 жителів розмовляли рідною мовою.	У 1960 році в Мексиці 13 осіб із 125 людей розмовляли рідною мовою	Обидва дані поділені на 8.

Еквівалентні дроби: десяткове подання

У таблиці нижче показано різні десяткові числа та еквівалентні дроби, які їх представляють.

Десяткове число	дріб	еквівалентний дріб	Операції
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{{29}}{{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Еквівалентні дроби: представлення у відсотках

У таблиці нижче показано різні десяткові числа та еквівалентні дроби, які їх представляють.

Десяткове число	дріб	еквівалентний дріб	Операції
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Еквівалентні дроби: від неоднорідних до однорідних

Дано два неоднорідних дроби \(\frac{a}{b}\) і \(\frac{c}{d}\), ми можемо знайти два дроби однорідний таким чином, що один дріб еквівалентний дробу \(\frac{a}{b}\;\), а інший — \(\frac{c}{d}\).

Далі ми покажемо дві процедури для виконання того, що згадано в попередньому параграфі.

Спостерігаємо:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

У наступній таблиці показано кілька прикладів.

Ф. неоднорідний	Операції	Ф. однорідний
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{{120}}{{{560}},\) \(\frac{{{700}}{{560}}\)

Недоліком цього методу є те, що в процесі можна отримати дуже великі кількості; У багатьох випадках цього можна уникнути, якщо обчислити найменше спільне кратне знаменників, а другий метод базується на обчисленні найменшого спільного кратного.

Найменше спільне кратне при обчисленні дробів

Далі, через два приклади, як отримати однорідні дроби, використовуючи найменше спільне кратне знаменників, яке буде спільним знаменником залучених дробів.

Розглянемо дроби: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Найменше спільне кратне \(12\) і \(18\) дорівнює \(36\); зараз

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Тепер розглянемо дроби: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Найменше спільне кратне \(10\), \(14\) і \(3\) дорівнює \(140\); зараз

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

З попередніх цифр бачимо наступний факт:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Ось інші приклади.

Ф. неоднорідний	хв спільні знаменники	Операції	Ф. однорідний
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{{30}}{{90}}\), \(\frac{{{40}}{{90}}\)