Визначення арифметичної прогресії

Послідовність чисел \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​називається арифметичною прогресією, якщо різниця між двома послідовними числами дорівнює одному і тому ж числу \(d\), це так:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Число \(d\) називають різницею арифметичної прогресії.

Елемент \({a_1}\) називається першим елементом арифметичної послідовності.

Елементи арифметичної прогресії можна виразити через перший елемент і його різницю, тобто:

\({a_1}, {a_1} + d, {a_1} + 2d, {a_1} + 3d\)

Вони є першими чотирма елементами арифметичної прогресії; У загальному вигляді \(k – \)-й елемент виражається наступним чином:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

З наведеного вище виразу отримуємо:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \ліворуч ({k – l} \праворуч) d\)

Наведений вище вираз еквівалентний:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \праворуч) d\)

Приклади в арифметичній прогресії

1. Знайти різницю арифметичної прогресії: \(3,8,13,18, \lкрапки \) ​​та знайти елементи \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Рішення

Оскільки \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), можна зробити висновок, що різниця:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. В арифметичній прогресії маємо: \({a_{17}} = 20\;\)і \({a_{29}} = – 130\), визначте різницю арифметичної прогресії та запишіть перші 5 елементів.

Рішення

Носіння

\({a_k} – {a_l} = \ліворуч ({k – l} \праворуч) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \ліворуч( {12} \праворуч) d\)

\( – 150 = \ліворуч( {12} \праворуч) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{{25}}{2}\)

Знайти перші 5 елементів; ми обчислимо \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Перші 5 елементів:

\(220,220 + \ліворуч ( { – \frac{{25}}{2}} \праворуч),220 + 2\ліворуч ( { – \frac{{25}}{2}} \праворуч),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Багатокутні числа та сума перших \(n\) елементів арифметичної прогресії

трикутні числа

Трикутні числа \({T_n}\;\) утворюються з арифметичної прогресії: \(1,2,3,4 \ldots \); наступним чином.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

квадратні числа

Квадратні числа \({C_n}\;\) утворюються з арифметичної прогресії: \(1,3,5,7 \lточок \); наступним чином

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

п'ятикутні числа

Квадратні числа \({P_n}\;\) утворюються з арифметичної прогресії: \(1,3,5,7 \lточок \); наступним чином

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Далі ми покажемо формулу для знаходження суми перших \(n\) елементів арифметичної прогресії.

Враховуючи арифметичну прогресію, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). Для обчислення суми \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) можна скористатися формулою:

\({S_n} = \frac{{n\ліворуч( {{a_1} + {a_n}} \справа)}}{2}\)

що еквівалентно

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Застосовуючи попередню формулу, отримано формули для обчислення трикутних, квадратних і п'ятикутних чисел; які показані в наступній таблиці.

багатокутне число	\({a_1}\)	\(d\)	Формула
Трикутний \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Квадрат \(n – \)-й	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
П'ятикутник \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\ліворуч ({3n – 1} \праворуч)}}{2}\)

Приклад на многокутних числах

3. З прикладу 2 обчисліть \({S_{33}}\).

Рішення

У цьому випадку \({a_1} = 200\) і \(d = – \frac{{{25}}{2}\)

застосування

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\ліво( {400 + 16\ліво( { – 25} \справа)} \праворуч) = 17\ліво (0 \праворуч) = 0\)

середні арифметичні

Дано два числа \(a\;\) і \(b,\) числа \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) називають \(k\) означає арифметичні числа \(a\;\) і \(b\); якщо послідовність \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) є арифметичною прогресією.

Щоб знати значення \(k\) середніх арифметичних чисел \(a\;\) і \(b\), достатньо знати різницю арифметичної прогресії, для цього необхідно: розглядається:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Зі сказаного вище встановлюємо співвідношення:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

Розв’язуючи \(d\), отримуємо:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

приклади

4. Знайти 7 середніх арифметичних між числами -5 і 25.

Рішення

При застосуванні

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

з \(b = 25,\;a = – 5\) і \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 середніх арифметичних:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{{85}}{4}\)

9. Одна людина дала 2000 доларів як початковий внесок на покупку холодильника, а решту оплатила своєю кредитною карткою протягом 18 місяців без відсотків. Він повинен платити 550 доларів на місяць, щоб погасити борг, який він придбав, щоб заплатити за свій холодильник.

до. Яка вартість холодильника?

b. Якщо ви сплатили решту протягом 12 місяців без відсотків, скільки буде щомісячного платежу?

Рішення

до. В цьому випадку:

\({a_{19}} = 2000 + 18\ліворуч( {550} \праворуч)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Між числами 2000 і 11900 треба знайти 11 середніх арифметичних, для яких:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Дано послідовність \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) знайдіть наступні 3 елементи та загальний вираз елемента \(n\).

Рішення

Послідовність, про яку йде мова, не є арифметичною прогресією, оскільки \(22 – 7 \ne 45 – 22\), але ми можемо сформувати послідовність із відмінностями двох послідовних елементів, а наведена нижче таблиця показує результати:

Елементи послідовності \({b_n}\)	Послідовність \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Третій стовпець наведеної вище таблиці говорить нам, що послідовність \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); це арифметична послідовність, різниця якої дорівнює \(d = 8\).

Далі запишемо елементи послідовності \({b_n}\) через послідовність \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Загалом у вас є:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \lкрапки + {c_n}\;\)

При застосуванні

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

З \({c_1} = 7\) і \(d = 8,\) ми отримуємо:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\ліворуч( {7 + 4\ліворуч( {n – 1} \праворуч)} \праворуч)\)

\({b_n} = n\ліворуч ({4n + 3} \праворуч)\)

Застосовуючи попередню формулу: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)