Як визначається теорема Фалеса?

Згідно з теоремою Фалеса, задано декілька паралельних прямих, пряма \(T\) називається трансверсальною до паралельних прямих, якщо вона перетинає кожну з паралельних прямих.

На малюнку 1 прямі \({T_1}\) і \({T_2}\) є трансверсальними до паралельних прямих \({L_1}\) і \({L_2}.\)

Теорема Фалеса (слабка версія)
Якщо кілька паралелей визначають конгруентні відрізки (які вимірюють однаково) в одній із двох їхніх поперечних ліній, вони також визначатимуть конгруентні відрізки в інших поперечних.

На малюнку 2 чорні лінії паралельні, і ви повинні:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Ми можемо забезпечити наступне:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Кажуть, що мудрий Фалес з Мілета виміряв висоту піраміди Хеопса, для цього він використав тіні та застосував властивості подібності трикутника. Теорема Фалеса є основною для розвитку поняття подібності трикутників.

Співвідношення та властивості пропорцій

Одне відношення — це частка двох чисел, де дільник відмінний від нуля; тобто:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{з\;}}b \ne 0\)

Пропорція - це рівність двох співвідношень, тобто:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) також називають константою пропорційності.

Властивості пропорцій

Якщо \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), то для \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{{c \pm d}}{d}\)

приклади

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Пара відрізків \(\overline {AB} \) і \(\overline {CD} \) називається пропорційною відрізкам \(\overline {EF} \) і \(\overline {GH} \) якщо пропорція виконана:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Де \(AB\;\) позначає довжину відрізка \(\overline {AB} .\)

Теорема Фалеса

Повертаючись до визначення, кілька паралелей визначають пропорційні відповідні відрізки на своїх поперечних прямих.

На малюнку 3 прямі паралельні, і ми можемо переконатися, що:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Зауважимо, що перші дві попередні пропорції еквівалентні наступним пропорціям:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Вище ми отримуємо:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

У багатьох випадках краще працювати з попередніми пропорціями, і в цьому випадку:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Конверсія теореми Фалеса

Якщо декілька прямих визначають у своїх поперечних прямих пропорційні відповідні відрізки, то прямі паралельні

Якщо на малюнку 4 виконується

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Тоді ми можемо підтвердити, що: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Нотація \({L_1}\parallel {L_2}\), що читається \({L_1}\), є паралельною до \({L_2}\).

З попередньої пропорції отримуємо:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Поділ відрізка на кілька частин однакової довжини

На конкретному прикладі ми покажемо, як поділити відрізок на частини однакової довжини.

Розділіть відрізок \(\overline {AB} \) на 7 відрізків однакової довжини

Вихідна ситуація

Проведіть допоміжну лінію, яка проходить через один із кінців відрізка

З опорою на циркуль на допоміжній лінії проведено 7 відрізків однакової довжини

Накресліть лінію, яка з’єднує кінці останнього намальованого сегмента та інший кінець сегмента, який потрібно розділити

Вони проводяться паралельно останній щойно проведеній лінії, яка проходить через точки перетину дуг окружності з допоміжною лінією.

Дано відрізок \(\overline {AB} \), кажуть, що точка \(P\) сегмента ділить сегмент \(\overline {AB} \) у співвідношенні \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Поділ відрізка в заданому співвідношенні

Дано відрізок \(\overline {AB} \) і два натуральних числа \(a, b\); точку \(P\), яка ділить відрізок у співвідношенні \(\frac{a}{b};\;\), можна знайти таким чином:

1. Розділіть відрізок \(\overline {AB} \) на \(a + b\) відрізки однакової довжини.
2. Візьміть \(a\) відрізки, відлічуючи від точки \(A\).

приклади

Ділення відрізка \(\overline {AB} \) у відношенні \(\frac{a}{b}\)

Причина	Кількість частин, на які ділиться відрізок	Розташування точки \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Прикладні приклади теореми Фалеса

додаток 1: Три ділянки простягаються від вулиці Сол до вулиці Луна, як показано на малюнку 5.

Бічними межами є відрізки, перпендикулярні Луна-стріт. Якщо загальний фасад ділянок на вулиці Сол складає 120 метрів, визначте фасад кожної ділянки на згаданій вулиці, якщо він також відомий:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Постановка проблеми

Оскільки лінії перпендикулярні до Луна-стріт, то вони паралельні одна одній, застосовуючи теорему Фалеса, ми можемо стверджувати:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\) З вищезазначеного ми можемо зробити висновок:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Подібним чином ми можемо зробити висновок:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Рішення

Для визначення константи пропорційності \(k,\) скористаємося властивостями пропорцій:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Зі сказаного вище отримуємо:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\ліворуч( {10} \праворуч) = 12.\)

Аналогічно:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\ліворуч( {30} \праворуч) = 36\)

Відповідь

Відрізок	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Довжина	12м	48м	24м	36м

додаток 2: Графічний дизайнер розробив полицю у формі паралелограма та розмістить 3 полиці, як показано на Малюнок 6, точки E і F є серединами сторін \(\overline {AD} \) і \(\overline {BC} ,\) відповідно. Ви повинні зробити надрізи в полицях, щоб мати можливість складати. У якій частині полиць потрібно зробити вирізи?

Постановка задачі: Завдяки умовам, які наведені в задачі, виконується:

\(ED = EA = CF = BF\)

В якості допоміжних конструкцій розширимо сторони \(\overline {CB} \) і \(\overline {DA} \). Через точку A через \(A\) проведено пряму, паралельну стороні \(\overline {EB} \), а через точку \(C\;\) проведену пряму, паралельну стороні \(\overline {DF} \).

Щоб застосувати теорему Фалеса, ми скористаємося зворотною теоремою Фалеса, щоб показати, що відрізки \(\overline {EB} \) і \(\overline {DF} \) паралельні.

Рішення

За побудовою чотирикутник \(EAIB\) є паралелограмом, тому ми маємо, що EA=BI, оскільки вони є протилежними сторонами паралелограма. Тепер:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Застосовуючи зворотну величину до зворотної величини теореми Фалеса, можна зробити висновок:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Беручи відрізки \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) і відрізки BC і CI як їх трансверсалі; як:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Взявши \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) і відрізки \(\overline {AC} \) і \(\overline {EB} \) за їх трансверсалі, ми матимемо:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Подібним чином показано, що:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Відповіді

Діагональні розрізи \(\overline {AC} \) повинні бути зроблені в точках \(G\;\) і \(H\), щоб:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Те саме стосується полиць \(\overline {EB} \) і \(\overline {DF} \).