Визначення принципу/рівняння Бернуллі

Принцип Бернуллі, який також часто називають рівнянням Бернуллі, є одним із найважливіших понять у гідродинаміці та механіці рідини. Він був сформульований швейцарським фізиком і математиком Даніелем Бернуллі в 1738 році в рамках його праці «гідродинаміка” і частина збереження енергії в ідеальній рідині в русі.

Уявімо таку ситуацію: у нас є шланг, по якому тече вода, яка виходить зі шланга з певною швидкістю і певним тиском. Потім приступаємо до часткового перекривання пальцем вихідного отвору шланга; роблячи це, ми бачимо, як вода виходить з більшою швидкістю. Це приклад дії принципу Бернуллі.

Ідеальні рідини в русі

Принцип Бернуллі застосовується до ідеальних рідин у русі, тому перш ніж перейти до пояснення цього принципу, важливо згадати, що ми маємо на увазі під ідеальною рідиною. Ідеальна рідина є спрощенням реальної рідини, це зроблено через опис рідини Ідеал є математично простішим і дає нам корисні результати, які пізніше можна поширити на випадок рідини справжній.

Є чотири припущення, які вважають рідину ідеальною, і всі вони пов’язані з потоком:

• Постійний потік: Постійний потік – це той, у якому швидкість, з якою рухається рідина, однакова в будь-якій точці простору. Іншими словами, ми припускаємо, що рідина не зазнає турбулентності.

• Нестисливість: також передбачається, що ідеальна рідина є нестисливою, тобто має постійну густину в будь-який час.

• Нев’язкість: в’язкість – це властивість рідин, яка, загалом, представляє опір, якому рідина протидіє руху. В'язкість можна розглядати як аналог механічного тертя.

• Безобертовий потік: цим припущенням ми посилаємося на той факт, що рухома рідина не здійснює жодного типу кругового руху навколо будь-якої точки свого шляху.

Роблячи ці припущення та маючи ідеальну рідину, ми значно спрощуємо математичне лікування та ми також забезпечуємо збереження енергії, що є відправною точкою до принципу Бернуллі.

Пояснення рівняння Бернуллі

Розглянемо ідеальну рідину, що рухається по трубі, як показано на наступному малюнку:

Тепер ми використаємо теорему про роботу та кінетичну енергію, яка є ще одним способом вираження закону збереження енергії, це говорить нам про те, що:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Де \(W\) — повна механічна робота, а \({\rm{\Delta }}K\) — зміна кінетичної енергії між двома точками. У цій системі ми маємо два типи механічної роботи: одна, яка виконується силою тяжіння на рідину, а інша, яка є результатом тиску рідини. Нехай \({W_g}\) — механічна робота, виконана силою тяжіння, а \({W_p}\) — механічна робота, виконана тиском, тоді можна сказати, що:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Оскільки сила тяжіння є консервативною силою, виконана нею механічна робота дорівнюватиме різниці потенційної енергії тяжіння між двома точками. Початкова висота, на якій знаходиться рідина, дорівнює \({y_1}\), а кінцева — \({y_2}\), отже, ми маємо:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Де \({\rm{\Delta }}m\) — частка маси рідини, яка проходить через певну точку, а \(g\) — прискорення сили тяжіння. Оскільки ідеальна рідина нестислива, то \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Де \(\rho \) — густина рідини, а \({\rm{\Delta }}V\) — частка об’єму, яка протікає через точку. Підставляючи це у наведене вище рівняння, ми отримуємо:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\ліворуч ({{y_2} – {y_1}} \справа)\)

Розглянемо тепер механічну роботу, яку виконує тиск рідини. Тиск — це сила, що діє на одиницю площі, тобто \(F = PA\). З іншого боку, механічна робота визначається як \(W = F{\rm{\Delta }}x\), де \(F\) — прикладена сила, а \({\rm{\Delta }}x\) – зміщення, що здійснюється в цьому випадку на осі х. У цьому контексті ми можемо розглядати \({\rm{\Delta }}x\) як довжину частини рідини, яка протікає через певну точку. Об’єднавши обидва рівняння, ми отримаємо \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Ми можемо зрозуміти, що \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), тобто це частина об’єму, яка протікає через цю точку. Отже, ми маємо \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

У початковій точці над системою виконується механічна робота, рівна \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) і в кінцевій точці система виконує механічну роботу над оточенням, рівну \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Механічна робота, спричинена тиском рідини, тоді буде роботою, виконаною системою, мінус робота, яку вона виконує над своїм оточенням, тобто:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

Нарешті, різниця кінетичної енергії \({\rm{\Delta }}K\) дорівнюватиме кінетичній енергії в кінцевій точці мінус кінетична енергія в початковій точці. Тобто:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Зі сказаного вище ми знаємо, що \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Тоді наведене вище рівняння виглядає так:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Підставляючи всі отримані результати в рівняння збереження енергії, отримуємо, що:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Ми можемо розкласти член \({\rm{\Delta }}V\) на обидві сторони рівняння, це призводить до:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \праворуч)\)

Розробляючи відсутні продукти, ми повинні:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Переставляючи всі члени з обох сторін рівняння, ми отримуємо, що:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Це рівняння є співвідношенням між початковим і кінцевим станом нашої системи. Нарешті ми можемо сказати, що:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = константа\)

Це останнє рівняння є рівнянням Бернуллі, з якого походить його принцип. Принцип Бернуллі — це закон збереження ідеальної рідини в русі.

Список літератури

Девід Холлідей, Роберт Резнік і Джерл Вокер. (2011). Основи фізики. США: John Wiley & Sons, Inc.