تعريف الهندسة غير الإقليدية

لين جوميز | لحر. 2022
أستاذ في الفلسفة

في الأساس ، الهندسة غير الإقليدية هي تلك التي تنشأ من استجواب ما يسمى الخامس من مسلمة إقليدس، لذلك فإن التوصيف العام لعمل إقليدس ضروري ، الذي كان عالم رياضيات يونانيًا ومقاييسًا ، وكان عمله نموذجيًا لـ الهندسةليعتبر أحد مؤسسيها. من المعروف على وجه اليقين الأمان الذي عاش في مدينة الإسكندرية مركز ثقافي من العصور القديمة ، حوالي عام 300 قبل الميلاد. ج.

عمله عناصر يبدأ بسلسلة من "المبادئ" ، تتكون من قائمة من 23 تعريفًا ؛ تليها 5 مسلمات تشير إلى الأرقام هندسية على وجه التحديد و 5 بديهيات عامة ، شائعة في التخصصات الرياضية الأخرى. بعد ذلك ، بعد المبادئ ، يقدم إقليدس "الافتراضات" من نوعين: المشاكل ، المشار إليها بناء من الشخصيات ذات الحكم والبوصلة. والنظريات في اشارة الى بيان خصائص البعض الأشكال الهندسية.

الفرضية الخامسة لإقليدس

افادت بذلك "إذا كان الخط المستقيم الذي يقع على خطين مستقيمين آخرين يجعل الزوايا الداخلية لنفس الضلع أصغر من خطين مستقيمين ، ثم ، إذا تم تمديد الخطين إلى أجل غير مسمى ، فإنهما يلتقيان على الجانب الذي تكون فيه الزاويتان أقل من اثنين مستقيم”. إذا كانت الزوايا صحيحة ، فإن هذه الخطوط ، وفقًا للتعريف رقم 23 ، ستكون متوازية ("الخطوط المتوازية هي الخطوط التي إذا كانت في نفس المستوى وطولت إلى أجل غير مسمى ، فلا تلتقي في أي اتجاه.”).

هذه الفرضية ، الأكثر تعقيدًا من سابقاتها ، لم تكن في حد ذاتها غير قابلة للشك: لم يكن من الواضح أن إطالة أمد خطوط إلى أجل غير مسمى ، سوف تتقاطع على الجانب حيث كانت الزوايا أقل من زاويتين قائمتين ، حيث لن يكون من الممكن إثبات ذلك من خلال بناء. بعد ذلك ، تُركت احتمالية أن الخطوط تقترب من بعضها البعض إلى أجل غير مسمى دون أن تتقاطع أبدًا مفتوحة.

محاولات لإثبات الافتراض الخامس

لهذا السبب ، منذ العصور القديمة حتى منتصف القرن التاسع عشر ، كانت هناك سلسلة من المحاولات الفاشلة لإثبات الفرضية الخامسة: تم تحقيق الإثبات دائمًا ؛ لكن تقديم بعض الافتراضات الإضافية الأخرى (المكافئة منطقيًا للخمسة) ، تختلف عن تلك الخاصة بإقليدس. أي ، لا يمكن إثبات الفرضية الخامسة ، ولكن تم استبدالها بمسلمة مكافئة.

مثال على ذلك هو افتراض John Playfair (s. الثامن عشر): "تمر نقطة واحدة موازية لهذا الخط عبر نقطة خارج الخط الموجود في نفس المستوى." (معروف ك "مسلمة موازية”). تنشأ الهندسة غير الإقليدية على وجه التحديد من المحاولات الفاشلة لإثبات الافتراض الخامس للنظام الإقليدي.

اختبار سخافة ساتشيري

في عام 1733 ، حاول عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو ساتشيري إثبات سخافة الافتراض الخامس لإقليدس. للقيام بذلك ، قام ببناء شكل رباعي (يُعرف باسم "الرباعي Saccheri"، حيث يكون زوج واحد من الزوايا زوايا قائمة) وذكر أن الفرضية الخامسة تعادل الافتراض القائل بأن الزوايا المميزة (تلك التي تقابل زوج الزوايا القائمة) لهذا الشكل الرباعي هي أيضًا زوايا قائمة. ثم هناك ثلاثة فرضية ممكن ، متنافي: أن الزاويتين المميزتين صحيحتان ، حادتان أو منفرجة. لإثبات الفرضية الخامسة بالسخف ، كان من الضروري إثبات (دون اللجوء إلى الخامس يفترض) أن فرضيات الزاوية المنفرجة والزاوية الحادة تنطوي على تناقض ، وبالتالي ، كانت كذلك خاطئة.

تمكن ساتشيري من إثبات أن فرضية الزاوية المنفرجة متناقضة ، لكنه لم ينجح في حالة الزاوية الحادة. على العكس من ذلك ، استنتج سلسلة من النظريات تتفق مع الهندسة الإقليدية وتتعارض معها. أخيرًا ، خلص إلى أنه نظرًا لغرابة هذه النظريات ، يجب أن تكون الفرضية خاطئة. وبالتالي ، فقد اعتقد أنه أثبت أن الفرضية الخامسة سخيفة ؛ ومع ذلك ، فإن ما فعله هو إثبات مجموعة مهمة من نظريات الهندسة غير الإقليدية عن غير قصد.

الاكتشاف "المتزامن" للهندسات غير الإقليدية

كارل ف. كان غاوس ، في القرن التاسع عشر ، أول من اشتبه في أن الافتراض الخامس لا يمكن إثباته من الأربعة الآخرين (أي أنه كان بشكل مستقل) وفي تصور إمكانية وجود هندسة غير إقليدية تستند إلى الافتراضات الإقليدية الأربعة وعلى نفي الخامس. لم ينشر اكتشافه أبدًا: هذا يعتبر حالة الاكتشاف المتزامن، لأنه كان لديه ثلاثة مرشحين مستقلين (Gauss نفسه ، و János Bolyai و Nikolai Lobachevsky).

إنكار الخامس قانون من الإقليدية ينطوي على احتمالين (تناول الصيغة المكافئة لـ Playfair): من خلال نقطة خارج خط مستقيم ، إما بدون تمريرات متوازية ، أو أكثر من تمريرات متوازية. من بين الأشكال الهندسية غير الإقليدية نجد ، على سبيل المثال ، الهندسة "وهمي"بواسطة Lobachevsky ، —المُعرف لاحقًا باسم"القطعي"- وفقا ل، "بالنظر إلى نقطة خارجية لخط ، خطوط متقاطعة لانهائية ، خطوط لانهائية غير متقاطعة وخطان متوازيان فقط يمران عبر تلك النقطة."، على عكس الموازي الإقليدي الفريد ؛ أو الهندسة البيضاوية لبرنارد ريمان ، والتي تنص على أن "من خلال نقطة خارج الخط ، لا يمر أي موازٍ لذلك الخط.”.

تطبيقات وآثار الاكتشاف

حاليًا ، من المعروف أنه في الفضاء المحلي ، تعطي كلتا الشكلين نتائج تقريبية. تظهر الاختلافات عندما يتم وصف المساحة المادية بطريقة أو بأخرى ، مع مراعاة المسافات الكبيرة. على الرغم من أننا نواصل استخدام الهندسة الإقليدية ، نظرًا لأنها أكثر ما تصف فضائنا على نطاق محلي ، فإن الاكتشاف كانت الهندسة غير الإقليدية حاسمة بقدر ما كانت تعني تحولًا جذريًا في فهم الحقائق علمي.

حتى ذلك الحين ، كان يُعتقد أن الهندسة الإقليدية تصف الفضاء حقًا. عند إثبات إمكانية وصفها من خلال هندسة أخرى ، مع افتراضات أخرى ، كان من الضروري إعادة التفكير في المعايير التي كان من الممكن من خلالها افتراض تفسير أو آخر مثل "صحيح”.

فهرس

مارتينيز لوركا ، أ. (1980) “أخلاق سقراط وتأثيرها على فكرت أوكسيدنتال "، في Revista Baética: Estudios de Arte ، جغرافية والتاريخ، 3، 317-334. جامعة ملقة.