تعريف الكسور المتكافئة

يُقال أن كسرين أو أكثر متكافئين إذا كانا يمثلان نفس الكمية ، أي إذا
\ (\ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} \؛، \)
يُقال أن الكسور \ (\ frac {a} {b} \) و \ (\ frac {c} {d} \) متكافئة.

الكسور المتكافئة: التمثيل البياني

تأمل المربع الذي سنقسمه إلى أرباع وأثلاث وأثمان واثني عشر.

من الأرقام السابقة نلاحظ المعادلات التالية:

كيفية الحصول على كسر واحد أو عدة كسور متكافئة؟

هناك طريقتان أساسيتان للحصول على كسر مكافئ لكسر معين.

1. اضرب البسط والمقام بنفس العدد الموجب.

أمثلة:

\ (\ frac {3} {4} = \ frac {{3 \ left (5 \ right)}} {{4 \ left (5 \ right)}} = \ frac {{15}} {{20}} \)

\ (\ frac {3} {4} = \ frac {{3 \ left (7 \ right)}} {{4 \ left (7 \ right)}} = \ frac {{21}} {{28}} \)

\ (\ frac {5} {8} = \ frac {{5 \ left (6 \ right)}} {{8 \ left (6 \ right)}} = \ frac {{30}} {{56}} \)

2. وهي مقسمة على نفس القاسم المشترك الموجب للبسط والمقام.

\ (\ frac {{52}} {{56}} = \ frac {{52 \ div 4}} {{56 \ div 4}} = \ frac {{13}} {{14}}. \)

\ (\ frac {{80}} {{140}} = \ frac {{80 \ div 20}} {{140 \ div 20}} = \ frac {4} {7}. \)

\ (\ frac {{21}} {{57}} = \ frac {{21 \ div 3}} {{57 \ div 3}} = \ frac {7} {{19}} \)

عندما يتم قسمة كل من البسط والمقام في الكسر على نفس القاسم المشترك بخلاف 1 ، يُقال أن الكسر قد تم تصغيره.

الكسور غير القابلة للاختزال

يسمى الكسر كسرًا غير قابل للاختزال إذا كان القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام يساوي 1.

إذا كان \ (gcd \ left ({a، b} \ right) = 1، \) يسمى الكسر \ (\ frac {a} {b} \) كسرًا غير قابل للاختزال.

إعطاء كسر \ (\ frac {a} {b} \) للحصول على كسر مكافئ لهذا الكسر وهو أيضًا الكسر غير القابل للاختزال يقسم البسط والبسط على القاسم المشترك الأكبر لـ \ (a \ ؛ \) و \(ب.\)

يوضح الجدول التالي أمثلة على الكسور غير القابلة للاختزال والقابلة للاختزال ؛ إذا كانت قابلة للاختزال ، فإنها توضح كيفية الحصول على جزء مكافئ غير قابل للاختزال.

جزء	القاسم المشترك الأكبر	غير القابل للاختزال	جزء مكافئ غير قابل للاختزال
\ (\ frac {{14}} {{42}} \)	7	لا	\ (\ frac {{14}} {{42}} = \ frac {{14 \ div 7}} {{42 \ div 7}} = \ frac {2} {7} \)
\ (\ frac {3} {{25}} \)	1	نعم	\ (\ frac {3} {{25}} \)
\ (\ frac {{21}} {{201}} \)	3	لا	\ (\ frac {{21 \ div 3}} {{20 \؛ 1 \ div 3}} = \ frac {7} {{67}} \)
\ (\ فارك {5} {{24}} \)	1	نعم	\ (\ فارك {5} {{24}} \)
\ (\ frac {{72}} {{1125}} \)	9	لا	\ (\ frac {{72}} {{1125}} = \ frac {{72 \ div 9}} {{1125 \ div 9}} = \ frac {8} {{125}} \)

الكسور المتكافئة: التمثيل اللفظي.

يوضح الجدول التالي طريقتين مختلفتين لعرض المعلومات المكافئة من وجهة النظر العددية.

العبارة اللفظية	عبارة مكافئة (عدديًا)	الجدال
في عام 1930 ، في المكسيك ، كان 4 أشخاص من كل 25 شخصًا يتحدثون لغتهم الأم.	في عام 1930 ، في المكسيك ، كان 16 شخصًا من كل 100 شخص يتحدثون لغتهم الأم.	تم ضرب كلا البيانات في 4
في عام 1960 ، في المكسيك ، كان 104 أشخاص من بين كل 1000 شخص يتحدثون لغتهم الأم.	في عام 1960 ، في المكسيك ، كان 13 شخصًا من أصل 125 شخصًا يتحدثون لغتهم الأم	تم تقسيم كلا المعطيات على 8.

الكسور المتكافئة: التمثيل العشري

يوضح الجدول أدناه مختلف الأعداد العشرية والكسور المكافئة التي تمثلها.

عدد عشري	جزء	جزء يعادل	عمليات
\(0.25\)	0.25 = \ (\ frac {{25}} {{100}} \)	0.25 = \ (\ frac {1} {4} \)	\ (25 \ div 25 = 1 \) \ (100 \ div 25 = \)
\(1.4\)	\ (1.4 = 1 + \ frac {4} {{10}} = \ frac {{14}} {{10}} \)	\ (1.4 = \ فارك {7} {5} \)	\ (14 \ div 2 = 1 \) \ (10 ​​\ div 2 = 5 \)
\(0.145\)	\ (0.145 = \ frac {{145}} {{1000}} \)	\ (0.145 = \ frac {{29}} {{200}} \)	\ (145 \ div 5 = 29 \) \ (1000 \ div 5 = 200 \)

الكسور المتكافئة: التمثيل كنسبة مئوية

يوضح الجدول أدناه مختلف الأعداد العشرية والكسور المكافئة التي تمثلها.

عدد عشري	جزء	جزء يعادل	عمليات
20%	\ (\ frac {{20}} {{100}} \)	\ (\ فارك {1} {5} \)	\ (20 \ div 20 = 1 \) \ (100 \ div 20 = 5 \)
150%	\ (\ frac {{150}} {{100}} \)	\ (\ فارك {3} {2} \)	\ (150 \ div 50 = 3 \) \ (100 \ div 50 = 2 \)
55%	\ (\ frac {{55}} {{100}} \)	\ (\ frac {{11}} {{20}} \)	\ (55 \ div 11 = 5 \) \ (100 \ div 5 = 20 \)

الكسور المتكافئة: من غير المتجانسة إلى المتجانسة

بالنظر إلى كسرين غير متجانسين \ (\ frac {a} {b} \) و \ (\ frac {c} {d} \) ، يمكننا إيجاد كسرين متجانسة بحيث يكون أحد الكسر مكافئًا للكسر \ (\ frac {a} {b} \؛ \) والآخر لـ \ (\ فارك {ج} {د} \).

بعد ذلك سنعرض إجراءين لتنفيذ ما ورد في الفقرة السابقة.

دعنا نلاحظ:

\ (\ frac {a} {b} = \ frac {{a \ left (d \ right)}} {{b \ left (d \ right)}} \)

\ (\ frac {c} {d} = {\ rm {\؛}} \ frac {{c \ left (b \ right)}} {{d \ left (b \ right)}} \)

الجدول التالي يوضح بعض الأمثلة.

F. غير متجانسة	عمليات	F. متجانس
\ (\ frac {4} {5} \) ، \ (\ frac {2} {3} \)	\ (\ frac {{4 \ left (3 \ right)}} {{5 \ left (3 \ right)}} = \ frac {{12}} {{15}} \) \ (\ frac {{2 \ left (5 \ right)}} {{3 \ left (5 \ right)}} = \ frac {{10}} {{15}} \)	\ (\ frac {{12}} {{15}} \) ، \ (\ frac {{10}} {{15}} \)
\ (\ frac {7} {{12}} \) ، \ (\ frac {4} {{18}} \)	\ (\ frac {{7 \ left ({18} \ right)}} {{12 \ left ({18} \ right)}} = \ frac {{126}} {{216}} \) \ (\ frac {{4 \ left ({12} \ right)}} {{18 \ left ({12} \ right)}} = \ frac {{48}} {{216}} \)	\ (\ frac {{126}} {{216}}، \) \ (\ frac {{48}} {{216}} \)
\ (\ frac {7} {{10}} \) ، \ (\ frac {3} {{14}} \) ، \ (\ frac {5} {4} \)	\ (\ frac {{7 \ left ({14} \ right) \ left (4 \ right)}} {{10 \ left ({14} \ right) 4}} = \ frac {{392}} {{ 560}} \) \ (\ frac {{3 \ left ({10} \ right) \ left (4 \ right)}} {{14 \ left ({10} \ right) \ left (4 \ right)}} = \ frac { {120}} {{560}} \) \ (\ frac {{5 \ left ({10} \ right) \ left ({14} \ right)}} {{4 \ left ({10} \ right) \ left ({14} \ right)}} = \ frac {{700}} {{560}} \)	\ (\ frac {{392}} {{560}} \)، \ (\ frac {{120}} {{560}}، \) \ (\ frac {{700}} {{560}} \)

عيب هذه الطريقة هو أنه يمكن إنتاج أعداد كبيرة جدًا في هذه العملية ؛ في كثير من الحالات ، من الممكن تجنبه ، إذا تم حساب المضاعف المشترك الأصغر للمقامات وكانت الطريقة الثانية تعتمد على حساب المضاعف المشترك الأصغر.

المضاعف المشترك الأصغر في حساب الكسور

بعد ذلك ، من خلال مثالين ، كيفية الحصول على كسور متجانسة باستخدام المضاعف المشترك الأصغر للمقام ، والذي سيكون القاسم المشترك للكسور المعنية.

ضع في اعتبارك الكسور: \ (\ frac {7} {{12}} \) ، \ (\ frac {4} {{18}}. \)

المضاعف المشترك الأصغر لـ \ (12 \) و \ (18 \) هو \ (36 \) ؛ الآن

\ (36 \ div 12 = 3 \)

\ (36 \ شعبة 18 = 2 \)

\ (\ frac {7} {{12}} = \ frac {{7 \ left (3 \ right)}} {{12 \ left (3 \ right)}} = \ frac {{21}} {{36 }} ، \)

\ (\ frac {4} {{18}} = \ frac {{4 \ left (2 \ right)}} {{18 \ left (2 \ right)}} = \ frac {8} {{36}} \)

الآن ضع في اعتبارك الكسور: \ (\ frac {7} {{10}} \) ، \ (\ frac {3} {{14}} \) ، \ (\ frac {5} {4} \)

المضاعف المشترك الأصغر لـ \ (10 ​​\) و \ (14 \) و \ (3 \) هو \ (140 \) ؛ الآن

\ (140 \ div 10 = 14 \)

\ (140 \ div 14 = 10 \)

\ (140 \ div 4 = 35 \)

\ (\ frac {7} {{10}} = \ frac {{7 \ left ({14} \ right)}} {{10 \ left ({14} \ right)}} = \ frac {{98} } {{140}} ، \)

\ (\ frac {3} {{14}} = \ frac {{3 \ left ({10} \ right)}} {{14 \ left ({10} \ right)}} = \ frac {{30} } {{140}} \)

\ (\ frac {5} {4} = \ frac {{5 \ left ({35} \ right)}} {{4 \ left ({35} \ right)}} = \ frac {{175}} { {140}} \)

من الأرقام السابقة نلاحظ الحقيقة التالية:

\ (\ frac {1} {4} = \ frac {3} {{12}} \)

فيما يلي أمثلة أخرى.

F. غير متجانسة	دقيقة القواسم المشتركة	عمليات	F. متجانس
\ (\ frac {1} {{14}} \) \ (\ frac {1} {{18}} \)	126	\ (126 \ div 14 = 9 \) \ (\ frac {1} {{14}} = \ frac {{1 \ left (9 \ right)}} {{14 \ left (9 \ right)}} = \ frac {9} {{126}} \) \ (126 \ شعبة 18 = 7 \) \ (\ frac {1} {{18}} = \ frac {{1 \ left (7 \ right)}} {{18 \ left (7 \ right)}} = \ frac {7} {{126}} \)	\ (\ frac {9} {{126}} \) ، \ (\ frac {7} {{126}} \)
\ (\ frac {5} {6} \) \ (\ frac {2} {{15}} ، \) \ (\ frac {4} {9} \)	90	\ (90 \ div 6 = 15 \) \ (\ frac {5} {6} = \ frac {{5 \ left ({15} \ right)}} {{6 \ left ({15} \ right)}} = \ frac {{75}} { {90}} \) \ (90 \ div 15 = 6 \) \ (\ frac {2} {{15}} = \ frac {{2 \ left ({15} \ right)}} {{15 \ left (6 \ right)}} = \ frac {{30}} { {90}} \) \ (90 \ div 9 = 10 \) \ (\ frac {4} {9} = \ frac {{4 \ left ({10} \ right)}} {{9 \ left ({10} \ right)}} = \ frac {{40}} { {90}} \)	\ (\ frac {{75}} {{90}} \) ، \ (\ frac {{30}} {{90}} \) ، \ (\ frac {{40}} {{90}} \)