كيف يتم تعريف نظرية طاليس؟

من نظرية طاليس ، بالنظر إلى العديد من الخطوط المتوازية ، يُقال أن الخط \ (T \) مستعرض للخطوط المتوازية إذا تقاطع مع كل من الخطوط المتوازية.

في الشكل 1 ، الخطوط \ ({T_1} \) و \ ({T_2} \) مستعرضتان للخطوط المتوازية \ ({L_1} \) و \ ({L_2}. \)

نظرية طاليس (نسخة ضعيفة)
إذا حددت العديد من المتوازيات المقاطع المتطابقة (التي تقيس نفس الشيء) في أحد خطيها المستعرضين ، فإنها ستحدد أيضًا المقاطع المتطابقة في المستعرضات الأخرى.

في الشكل 2 ، الخطوط السوداء متوازية وعليك أن:
\ ({A_1} {A_2} = {A_2} {A_3} = {A_3} {A_4}. \)
يمكننا ضمان ما يلي:
\ ({B_1} {B_2} = {B_2} {B_3} = {B_3} {B_4}. \)

يقال أن طاليس الحكيم من ميليتس قاس ارتفاع هرم خوفو ، لذلك استخدم الظلال وتطبيق خصائص تشابه المثلث. نظرية طاليس أساسية لتطوير مفهوم تشابه المثلثات.

نسب وخصائص النسب

نسبة واحدة هي حاصل قسمة رقمين ، بحيث يكون المقسوم عليه غير الصفر ؛ ذلك بالقول:

\ (\ frac {a} {b} \؛ {\ rm {with \؛}} b \ ne 0 \)

النسبة هي المساواة بين نسبتين ، أي:

\ (\ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} = k، \)

\ (ك \) يسمى أيضًا ثابت التناسب.

خصائص النسب

إذا \ (\ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} = k \) ثم لـ \ (m \ ne 0: \؛ \)

\ (\ frac {{ma}} {{mb}} = \ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} = k \)

\ (\ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} = \ frac {{a + c}} {{b + d}} = \ frac {{a - c}} {{b - د}} = ك \)

\ (\ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} = \ frac {f} {g} = \ frac {{a + c + f}} {{b + d + g}} = ك\)

\ (\ frac {{a \ pm b}} {b} = \ frac {{c \ pm d}} ​​{d} \)

أمثلة

\ (\ frac {9} {{24}} = \ frac {{15}} {{40}} = \ frac {{9 + 15}} {{24 + 40}} = \ frac {{24}} {{64}} \)

\ (\ frac {9} {{24}} = \ frac {{15}} {{40}} = \ frac {{15 - 9}} {{40 - 24}} = \ frac {6} {{ 16}} \)

\ (\ frac {{9 + 24}} {{24}} = \ frac {{15 + 40}} {{40}} \) \ (\ frac {{33}} {{24}} = \ frac {{55}} {{40}} \)

يُقال أن زوج المقاطع \ (\ overline {AB} \) و \ (\ overline {CD} \) متناسب مع المقاطع \ (\ overline {EF} \) و \ (\ overline {GH} \) إذا تم استيفاء النسبة:

\ (\ frac {{AB}} {{CD}} = \ frac {{EF}} {{GH}} \)

حيث يشير \ (AB \؛ \) إلى طول المقطع \ (\ overline {AB}. \)

نظرية طاليس

بالعودة إلى التعريف ، تحدد العديد من المتوازيات المقاطع المتناسبة في خطوطها المستعرضة.

في الشكل 3 ، الخطوط المستقيمة متوازية ويمكننا ضمان:

\ (\ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{A_2} {A_3}}} = \ frac {{{B_1} {B_2}}} {{{B_2} {B_3}}} \) \ (\ frac {{{A_2} {A_3}}} {{{A_3} {A_4}}} = \ frac {{{B_2} {B_3}}} {{{B_3} {B_4}}} \) \ ( \ frac {{{A_2} {A_4}}} {{A_2} {A_3}}} = \ frac {{{B_2} {B_4}}} {{{B_2} {B_3}}} \) \ (\ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{A_3} {A_4}}} = \ frac {{{B_1} {B_2}}} {{{B_3} {B_4}}} \) \ (\ frac {{{A_1} {A_3}}} {{{A_1} {A_2}}} = \ frac {{{B_1} {B_3}}} {{{B_1} {B_2}}} \)

دعونا نلاحظ أن النسبتين الأوليين السابقتين تكافئان النسب التالية:

\ (\ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{B_1} {B_2}}} = \ frac {{A_2} {A_3}}} {{B_2} {B_3}}} \) \ (\ frac {{{A_2} {A_3}}} {{{B_2} {B_3}}} = \ frac {{{A_3} {A_4}}} {{{B_3} {B_4}}} \) مما سبق نحن نحصل:

\ (\ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{B_1} {B_2}}} = \ frac {{A_2} {A_3}}} {{B_2} {B_3}}} = \ frac {{{A_3} {A_4}}} {{{B_3} {B_4}} = \ frac {{{A_1} {A_2} + {A_2} {A_3} + {A_3} {A_4}}} {{{B_1} {B_2} + {B_2} {B_3} + {B_3} {B_4}}} = \ frac {{{A_1} {A_4}}} {{{B_1} {B_4}}} \)

في كثير من الأحيان من الأفضل العمل بالنسب السابقة وفي هذه الحالة:

\ (\ frac {{{A_i} {A_j}}} {{{B_i} {B_j}}} = k \)

العكس من نظرية طاليس

إذا حددت عدة سطور المقاطع المتناسبة في خطوطها المستعرضة ، فإن الخطوط تكون متوازية

إذا تم الوفاء به في الشكل 4

\ (\ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{A_2} {A_3}}} = \ frac {{{B_1} {B_2}}} {{{B_2} {B_3}}} \)

ثم يمكننا التأكيد على ما يلي: \ ({L_1} \ متوازي {L_2} \ متوازي {L_3}. \)

الترميز \ ({L_1} \ متوازي {L_2} \) ، قراءة \ ({L_1} \) موازي لـ \ ({L_2} \).

من النسبة السابقة نحصل عليها:

\ (\ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{B_1} {B_2}}} = \ frac {{A_2} {A_3}}} {{B_2} {B_3}}} = \ frac {{{A_1} {A_2} + {A_2} {A_3}}} {{B_1} {B_2} + {B_2} {B_3}}} = \ frac {{{A_1} {A_3}}} {{ B_1} {B_3}}} \)

تقسيم قطعة إلى عدة أجزاء متساوية الطول

من خلال مثال ملموس سنوضح كيفية تقسيم جزء إلى أجزاء متساوية الطول.

قسّم المقطع \ (\ overline {AB} \) إلى 7 أجزاء متساوية الطول

الحالة الأولي

ارسم خطًا إضافيًا يمر عبر أحد طرفي المقطع

بدعم من البوصلة ، يتم رسم 7 أجزاء متساوية الطول على الخط الإضافي

ارسم الخط الذي يربط طرفي المقطع الأخير المرسوم والطرف الآخر من المقطع المراد تقسيمه

يتم رسمها بالتوازي مع الخط الأخير المرسوم للتو والذي يمر عبر النقاط التي تتقاطع فيها أقواس المحيط مع الخط الإضافي.

بالنظر إلى المقطع \ (\ overline {AB} \) ، يُقال أن النقطة \ (P \) من المقطع تقسم المقطع \ (\ overline {AB} \) ، في النسبة \ (\ frac {{AP} } {{PB}}. \)

تقسيم جزء بنسبة معينة

إعطاء مقطع \ (\ overline {AB} \) ، وعددين صحيحين موجبين \ (أ ، ب \) ؛ يمكن العثور على النقطة \ (P \) التي تقسم المقطع في النسبة \ (\ frac {a} {b}؛ \؛ \) على النحو التالي:

1. قسّم المقطع \ (\ overline {AB} \) إلى \ (a + b \) أجزاء متساوية الطول.
2. خذ \ (أ \) مقاطع العد من النقطة \ (أ \).

أمثلة

تقسيم المقطع \ (\ overline {AB} \) في النسبة \ (\ frac {a} {b} \)

سبب	عدد الأجزاء التي يتم تقسيم المقطع إليها	موقع النقطة \ (P \)
\ (\ frac {{AP}} {{PB}} = \ frac {4} {3} \)	\(4 + 3 = 7\)
\ (\ frac {{AP}} {{PB}} = 6 = \ frac {6} {1} \)	\(6 + 1 = 7\)
\ (\ frac {{AP}} {{PB}} = \ frac {2} {3} \)	\(2 + 3 = 5\)
\ (\ frac {{AP}} {{PB}} = \ frac {3} {2} \)	\(3 + 2 = 5\)

أمثلة تطبيقية على نظرية طاليس

تطبيق 1: ثلاثة قطع ممتدة من شارع سول إلى شارع لونا ، كما هو موضح في الشكل 5.

الحدود الجانبية عبارة عن أجزاء متعامدة مع شارع لونا. إذا كانت الواجهة الإجمالية لقطع الأرض في شارع سول تبلغ 120 مترًا ، فحدد واجهة كل قطعة في الشارع المذكور ، إذا كانت معروفة أيضًا:

\ ({A_1} {A_2} = 10 {\ rm {m}}، \؛ {A_2} {A_3} = 40 {\ rm {m}}، \؛ {A_3} {A_4} = 20 {\ rm { م}} ، \ ؛ {A_4} {A_5} = 30 {\ rm {م}}. \)

عرض المشكلة

نظرًا لأن الخطوط متعامدة مع Luna Street ، فإنها تكون متوازية مع بعضها البعض ، من خلال تطبيق نظرية طاليس يمكننا أن نؤكد:

\ (\ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{A_2} {A_3}}} = \ frac {{{B_1} {B_2}}} {{{B_2} {B_3}}}، \؛ \؛ \ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{A_1} {A_4}}} = \ frac {{{B_1} {B_2}}} {{{B_1} {B_4}}} \؛، \؛ \؛ \ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{A_1} {A_5}} } = \ frac {{{B_1} {B_2}}} {{{B_1} {B_5}}} \) مما سبق بإمكاننا أن نستنتج:

\ (k = \ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{B_1} {B_2}}} = \ frac {{{A_1} {A_4}}} {{{B_1} {B_4}}} = \ frac {{{A_1} {A_5}}} {{{B_1} {B_5}}} \؛ \)

وبالمثل يمكننا أن نستنتج:

\ (k = \ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{B_1} {B_2}}} = \ frac {{A_2} {A_3}}} {{{B_2} {B_3}}} = \ frac {{{A_3} {A_4}}} {{{B_3} {B_4}}} = \ frac {{{A_4} {A_5}}} {{{B_4} {B_5}}} \)

حل

لتحديد ثابت التناسب \ (ك ، \) سوف نستخدم خصائص النسب:

\ (k = \ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{B_1} {B_2}}} = \ frac {{A_2} {A_3}}} {{{B_2} {B_3}}} = \ frac {{{A_3} {A_4}}} {{{B_3} {B_4}}} = \ frac {{{A_4} {A_5}}} {{{B_4} {B_5}}} = \ frac {{{A_1} {A_2} + {A_2} {A_3} + {A_3} {A_4} + {A_4} {A_5}}} {{{B_1} {B_2} + {B_2} {B_3} + { B_3} {B_4} + {B_4} {B_5}}} = \ frac {{{A_1} {A_5}}} {{{B_1} {B_5}}} = \ frac {{100}} {{120}} = \ frac {5} {6} \)

مما سبق نحصل عليه:
\ (\ frac {{{A_1} {A_2}}} {{{B_1} {B_2}}} = \ frac {5} {6} \) \ (\ frac {{{B_1} {B_2}}} { {{A_1} {A_2}} = \ frac {6} {5} \) \ ({B_1} {B_2} = \ frac {6} {5} {A_1} {A_2} = \ frac {6} { 5} \ يسار ({10} \ يمين) = 12. \)

بشكل مماثل:

\ ({B_2} {B_3} = \ frac {6} {5} {A_2} {A_3} = \ frac {6} {5} \ left ({40} \ right) = 48 \) \ ({B_3} {B_4} = \ frac {6} {5} {A_3} {A_4} = \ frac {6} {5} \ left ({20} \ right) = 24 \) \ ({B_4} {B_5} = \ frac {6} {5} {A_4} {A_5} = \ frac {6 } {5} \ يسار ({30} \ يمين) = 36\)

إجابة

شريحة	\ ({B_1} {B_2} \)	\ ({B_2} {B_3} \)	\ ({B_3} {B_4} \)	\ ({B_4} {B_5} \)
طول	12 م	48 م	24 م	36 م

التطبيق 2: صمم مصمم الجرافيك رفًا على شكل متوازي أضلاع وسيضع 3 أرفف كما هو موضح في الشكل 6 ، النقطتان E و F هما نقطتا منتصف الجانبين \ (\ overline {AD} \) و \ (\ overline {BC} ، \) على التوالى. عليك عمل تخفيضات في الأرفف لتتمكن من صنع التجميعات. في أي جزء من الرفوف يجب إجراء التخفيضات؟

بيان المشكلة: نظرا للشروط الواردة في المشكلة ، يتحقق ما يلي:

\ (ED = EA = CF = BF \)

كإنشاءات مساعدة ، سنقوم بتوسيع الجوانب \ (\ overline {CB} \) و \ (\ overline {DA} \). يتم رسم خط من خلال النقطة A إلى \ (A \) وموازاة للجانب \ (\ overline {EB} \) ومن خلال النقطة \ (C \ ؛ \) يتم رسم خط موازٍ للجانب \ (\ overline {DF} \).

سنستخدم معكوس نظرية طاليس لإظهار أن المقاطع \ (\ overline {EB} \) و \ (\ overline {DF} \) متوازيتان من أجل تطبيق نظرية طاليس.

حل

من خلال البناء ، يكون الشكل الرباعي \ (EAIB \) متوازي أضلاع ، لذلك لدينا EA = BI ، نظرًا لأنهما جوانب متقابلة من متوازي الأضلاع. الآن:

\ (\ frac {{DE}} {{EA}} = \ frac {{BF}} {{BI}} = 1 \)

بتطبيق متبادل لنظرية طاليس يمكننا أن نستنتج:

\ (\ overline {AI} \allel \ overline {EB} \allel \ overline {DF} \allel \ overline {JC} \)

أخذ المقاطع \ (\ overline {AI} \allel \ overline {EB} \allel \ overline {DF} \allel \ overline {JC} \) والمقطعين BC و CI كقطاعات مستعرضة ؛ كيف:

\ (FC = BF = BI \) \ (CH = HG = GA \)

بأخذ \ (\ overline {AD} \ المتوازي \ overline {BC} \) والمقاطع \ (\ overline {AC} \) و \ (\ overline {EB} \) كقطاعات مستعرضة ، سيكون لدينا:

\ (\ frac {{EG}} {{GB}} = \ frac {{AG}} {{GC}} = \ frac {{AG}} {{CH + HG}} = \ frac {{AG}} {{2 \ left ({AG} \ right)}} = \ frac {1} {2} \)

وبالمثل ، يتضح أن:

\ (\ frac {{DH}} {{HF}} = 2 \)

الإجابات

يجب إجراء التخفيضات القطرية \ (\ overline {AC} \) عند النقاط \ (G \ ؛ \) و \ (H \) ، بحيث:

\ (\ frac {{AG}} {{AC}} = \ frac {{AH}} {{AC}} = \ frac {1} {3} \)

وينطبق الشيء نفسه على الرفوف \ (\ overline {EB} \) و \ (\ overline {DF} \).