Каква е йерархията на операциите?

Йерархията на операциите е математическа конвенция, която установява реда, в който трябва да се извършват комбинирани изчислителни действия в същото математическо твърдение, т.е. когато има математическо твърдение, където има математически операции (събиране, изваждане, умножение, деление, степени и корени) комбинирани, те трябва да се правят в определен ред, за да се стигне до резултат често срещани.

Но защо е необходима йерархия? За да отговорим на него, първо трябва да разберем добре природата на математическите операции, които се състоят от трансформация, която се прилага към елементите на набор. Нека помислим например за набора от реални числа, тоест онези числа, които всички знаем. Ако вземем число a и го съберем с друго число b, ще получим друго число c, което принадлежи към същия набор от реални числа, тоест:

a+b = c

Освен това редът, в който са представени събираемите, не влияе на крайния резултат, т.е a+b = b+a, това свойство се нарича комутативност. Важно е да говорим за събиране, защото това е основната операция, от която се извличат всички останали. Умножението не е нищо повече от поредица от повтарящи се събирания. Ако отново имаме число a и го умножим по число b, това, което правим, понякога е да добавим числото b към себе си или, алтернативно, да добавим b по числото a към себе си. Последното е така, тъй като умножението е комутативно като събиране, това означава, че:

a⋅b = b⋅a. Гореспоменатото може да се изрази като:

Лесно можем да визуализираме това с пример. Нека направим умножението 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Ами ако трябва да извършим операция, при която сме комбинирали събиране с умножение? Например: a⋅b+c. Какъв е редът, в който трябва да се извършва събиране и умножение? На коя операция да дадем предпочитание? Ако първо извършим умножението и го развием като сбор, ще имаме:

Сега, ако първо извършим събирането и след това умножението, ще получим:

Тъй като събирането е комутативно, можем да прегрупираме дясната страна на уравнението, за да получим:

Сравнявайки резултатите, получени в двете ситуации, е лесно да се разбере, че:

Тогава заключаваме, че редът, в който е решено да се извършат операциите, влияе върху получения резултат. Същото се случва, когато намесваме правомощия. Когато повдигаме число b на степен c, това, което правим, е да умножим c по числото b със себе си, тоест:

Сега продължаваме да изпълняваме следната комбинирана операция, включваща умножение и степен a⋅b^{° С} в различен ред, както направихме в предишния случай. Ако първо дадем приоритет на мощността, имаме:

Сега, ако първо извършим умножението и след това степента, ще имаме:

Възползвайки се от комутативността на умножението, можем да прегрупираме дясната страна на уравнението като:

Отново можем да сравним резултатите, получени чрез извършване на операциите в различен ред, за да разберем, че:

И в този случай редът, в който се извършват операциите, влияе върху получения резултат. И така, какъв е редът, в който трябва да се извършват операциите? Йерархията на операциите установява, че степените са на по-високо ниво на йерархия от умноженията, по такъв начин, че мощностите имат предимство в математически израз. На свой ред умноженията имат по-високо йерархично ниво от събиранията.

Но какво да кажем за изваждането, делението и корените? Изваждането е противоположна операция на събиране, когато извадим число b от число a, получаваме друго число c, така че c+b=a. Нещо подобно се случва при деление и изваждане. Ако разделим число a на число b и получим число c като резултат, намерили сме такова число, че b⋅c=a. И накрая, чрез изчисляване на корен b от число a намираме число c такова, че c^b=а. Тези еквивалентности поставят изваждането, делението и корена на същото йерархично ниво като събирането, умножението и степента, съответно.

Практики със скоби и скоби

Сега, какво се случва, ако искаме да дадем приоритет на някои операции в математическо изявление, независимо от тяхното йерархично ниво? За целта се използват скоби и квадратни скоби. Да предположим, че имаме формулировка на принципа a⋅b+c. С това, което казахме преди, вече знаем, че първо трябва да извършим умножението и след това събирането. Но какво, ако искаме това да не е така? За да направим това, ще трябва да използваме скоби или квадратни скоби, за да разделим събирането от умножението и по този начин да дадем приоритет на първо изчисляване на събирането, тоест: a⋅(b+c). Това кара изразите, разделени със скоби и квадратни скоби, да имат най-висок приоритет пред всички други операции.

С всичко казано по-горе, йерархията на операциите или редът, в който те трябва да бъдат извършени, е както следва:

1) Скоби и скоби
2) Сили и корени
3) Умножение и деление
4) Събиране и изваждане

Препратки

ч. Бенке, Ф. Бахман, К. Флад, У. Със, Х. Герике, Ф. Хоенберг, Г. Пикерт, Х. Рау и С. ч. Гулд. (1983). Основи на математиката: том I. Кеймбридж, Масачузетс и Лондон: The MIT Press.