Геометрична прогресия Определение

Поредица от числа \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Нарича се геометрична прогресия, ако, започвайки от втория, всеки елемент се получава от умножението на предишния по число \(r\ne 0\), т.е. ако:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Където:
- Числото \(r\) се нарича отношение на геометричната прогресия.
- Елементът \({{a}_{1}}\) се нарича първи елемент от аритметичната прогресия.

Елементите на геометричната прогресия могат да бъдат изразени чрез първия елемент и неговото съотношение, тоест:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Те са първите четири елемента на аритметичната прогресия; като цяло \(k-\)-ият елемент се изразява по следния начин:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Когато \({{a}_{1}}\ne 0,~\)от предишния израз получаваме:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Горният израз е еквивалентен на:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Пример/упражнение 1. Намерете разликата на аритметичната прогресия: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​и намерете елементите \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Решение

Тъй като \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\), можем да заключим, че съотношението е:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Пример/упражнение 2. В аритметична прогресия имаме: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), определете отношението на геометричната прогресия и напишете първите 5 елемента.

Решение

Носене

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Да се ​​намерят първите 5 елемента от аритметичната прогресия; ще изчислим \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Първите 5 елемента на геометричната прогресия са:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Пример/упражнение 3. Тънкото стъкло абсорбира 2% от слънчевата светлина, която преминава през него.

да се. Какъв процент светлина ще премине през 10 от тези тънки стъкла?

b. Какъв процент светлина ще премине през 20 от тези тънки стъкла?

° С. Определете процента на светлината, която преминава през \(n\) тънки стъкла с еднакви характеристики, поставени последователно.

Решение

Ще представим с 1 общата светлина; като абсорбира 2% от светлината, тогава 98% от светлината преминава през стъклото.

Ще представим с \({{a}_{n}}\) процента светлина, който преминава през стъклото \(n\).

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\наляво( 0,98 \вдясно),~{{a}_{3}}={{\наляво( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

Като цяло \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

да се. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); което ни казва, че след стъкло 10 преминава 81,707% от светлината

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); което ни казва, че след стъкло 20 преминава 66,761%

Сумата от първите \(n\) елемента на геометрична прогресия

Дадена е геометричната прогресия \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Когато \(r\ne 1\) е сумата от първите \(n\) елементи, сумата:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Може да се изчисли с

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Пример/упражнение 4. От пример 2 изчислете \({{S}_{33}}\).

Решение

В този случай \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) и \(r=-4\)

прилагане

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\ляво( -4 \дясно)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Пример/упражнение 5. Да предположим, че човек качи снимка на своя домашен любимец и я сподели с 3 свои приятели в интернет социална мрежа и след един час всеки от тях, споделя снимката с трима други души и след това последният, след още един час, всеки от тях споделя снимката с трима други хора; И така продължава; всеки човек, който получи снимката, я споделя с още 3 души в рамките на един час. След 15 часа колко души вече имат снимката?

Решение

Следващата таблица показва първите изчисления
Време Хората, които получават снимката Хората, които имат снимката
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Броят на хората, които получават снимката за час \(n\) е равен на: \({{3}^{n}}\)

Броят на хората, които вече имат снимката за час, е равен на:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\lточки +{{3}^{n}}\)

прилагане

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

С \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) и \(n=15\)

Чрез което:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

геометрични средства

Дадени са две числа \(a~\) и \(b,\) числата \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) се наричат ​​\(k\) геометрични средни на числата \(a~\) и \(b\); ако последователността \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) е геометрична прогресия.

За да знаете стойностите на \(k\) геометрични средни числа \(a~\) и \(b\), е достатъчно да знаете съотношението на аритметичната прогресия, за това трябва да се има предвид следното:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

От горното установяваме връзката:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Решавайки за \(d\), получаваме:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Пример/упражнение 6. Намерете 2 средни геометрични между числата -15 и 1875.

Решение

При кандидатстване

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

с \(b=375,~a=-15\) и \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3-те геометрични средни са:

\(75,-375\)

Пример/упражнение 7. Човек инвестира пари и получава лихва всеки месец в продължение на 6 месеца и капиталът му се увеличава с 10%. Ако приемем, че процентът не се е променил, какъв е месечният лихвен процент?

Решение

Нека \(C\) е инвестираният капитал; крайният капитал е \(1.1C\); За да решим задачата, трябва да поставим 5 геометрични средни, като приложим формулата:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

С \(k=5,~b=1.1C\) и \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Получената месечна ставка беше \(1,6%\)