Дефиниция на аритметичната прогресия

Поредица от числа \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​се нарича аритметична прогресия, ако разликата между две последователни числа е равна на едно и също число \(d\), това е да:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Числото \(d\) се нарича разлика на аритметичната прогресия.

Елементът \({a_1}\) се нарича първи елемент от аритметичната редица.

Елементите на аритметичната прогресия могат да бъдат изразени чрез първия елемент и неговата разлика, тоест:

\({a_1},{a_1} + d, {a_1} + 2d, {a_1} + 3d\)

Те са първите четири елемента на аритметичната прогресия; Най-общо \(k – \)-тият елемент се изразява по следния начин:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

От горния израз получаваме:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Горният израз е еквивалентен на:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Примери, приложени за аритметична прогресия

1. Намерете разликата на аритметичната прогресия: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​и намерете елементите \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Решение

Тъй като \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), можем да заключим, че разликата е:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. В аритметична прогресия имаме: \({a_{17}} = 20\;\)и \({a_{29}} = – 130\), определете разликата на аритметичната прогресия и запишете първите 5 елемента.

Решение

Носене

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \наляво( {12} \вдясно) d\)

\( – 150 = \ляво( {12} \дясно) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{{25}}{2}\)

Да намерите първите 5 елемента; ще изчислим \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Първите 5 елемента са:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Многоъгълни числа и сумата от първите \(n\) елементи на аритметична прогресия

триъгълни числа

Триъгълните числа \({T_n}\;\) се образуват от аритметичната прогресия: \(1,2,3,4 \ldots \); по следния начин.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

квадратни числа

Квадратните числа \({C_n}\;\) се образуват от аритметичната прогресия: \(1,3,5,7 \ldots \); както следва

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

петоъгълни числа

Квадратните числа \({P_n}\;\) се образуват от аритметичната прогресия: \(1,3,5,7 \ldots \); както следва

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

След това ще покажем формулата за намиране на сумата от първите \(n\) елементи на аритметична прогресия.

Като се има предвид аритметичната прогресия, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) д\). За да изчислите сумата \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\), можете да използвате формулата:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

което е еквивалентно на

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Прилагайки предходната формула, се получават формулите за изчисляване на триъгълните, квадратните и петоъгълните числа; които са показани в следващата таблица.

многоъгълно число	\({a_1}\)	\(д\)	Формула
Триъгълен \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Квадрат \(n – \)-ти	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Петоъгълник \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Пример за многоъгълни числа

3. От пример 2 изчислете \({S_{33}}\).

Решение

В този случай \({a_1} = 200\) и \(d = – \frac{{25}}{2}\)

прилагане

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\наляво( {400 + 16\наляво( { – 25} \вдясно)} \вдясно) = 17\наляво( 0 \вдясно) = 0\)

аритметични средства

При дадени две числа \(a\;\) и \(b,\) числата \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) се наричат ​​\(k\) означава аритметични числа \(a\;\) и \(b\); ако последователността \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) е аритметична прогресия.

За да знаете стойностите на средните аритметични \(k\) на числата \(a\;\) и \(b\), е достатъчно да знаете разликата на аритметичната прогресия, за това трябва да бъде следното разглеждан:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

От горното установяваме връзката:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

Решавайки за \(d\), получаваме:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

примери

4. Намерете 7 средни аритметични между числата -5 и 25.

Решение

При кандидатстване

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

с \(b = 25,\;a = – 5\) и \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7-те средни аритметични са:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{{85}}{4}\)

9. Един човек даде $2000 като първоначална вноска за закупуване на хладилник и плати остатъка с кредитната си карта за 18 месеца без лихва. Той трябва да плаща 550 долара на месец, за да уреди дълга, който е придобил, за да плати хладилника си.

да се. Каква е цената на хладилника?

b. Ако сте платили остатъка за 12 месеца без лихва, колко би била месечната вноска?

Решение

да се. В такъв случай:

\({a_{19}} = 2000 + 18\наляво( {550} \вдясно)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Между числата 2000 и 11900 трябва да намерим 11 средни аритметични, за които:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Дадена е редицата \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) намерете следните 3 елемента и общия израз на елемента \(n\).

Решение

Въпросната последователност не е аритметична прогресия, тъй като \(22 – 7 \ne 45 – 22\), но можем да образуваме последователност с разликите на два последователни елемента и следващата таблица показва резултати:

Елементи на последователността \({b_n}\)	Последователност \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Третата колона на горната таблица ни казва, че последователността \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); е аритметична редица, чиято разлика е \(d = 8\).

След това ще запишем елементите на последователността \({b_n}\) по отношение на последователността \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Като цяло имате:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

При кандидатстване

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

С \({c_1} = 7\) и \(d = 8,\) получаваме:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\наляво( {7 + 4\наляво( {n – 1} \вдясно)} \вдясно)\)

\({b_n} = n\наляво( {4n + 3} \вдясно)\)

Чрез прилагане на предишната формула: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)