Дефиниция на принципа/уравнението на Бернули

Принципът на Бернули, често наричан още уравнение на Бернули, е една от най-важните концепции в хидродинамиката и механиката на флуидите. Тя е формулирана от швейцарския физик и математик Даниел Бернули през 1738 г. като част от неговата работа "хидродинамика” и част от запазването на енергията в идеална течност в движение.

Нека си представим следната ситуация: Имаме маркуч, през който тече вода, която напуска маркуча с определена скорост и определено налягане. След това пристъпваме към частично покриване на изходния отвор на маркуча с пръст; като правим това, виждаме как водата сега излиза с по-голяма скорост. Това е пример за действие на принципа на Бернули.

Идеални течности в движение

Принципът на Бернули се прилага за идеални течности в движение, така че преди да продължим с обяснението на този принцип, е важно да споменем какво имаме предвид под идеална течност. Идеалната течност е опростяване на реална течност, това се прави, защото описанието на течност идеален е математически по-прост и ни дава полезни резултати, които по-късно могат да бъдат разширени до случая на течност истински.

Има четири предположения, които се правят, за да се счита течността за идеална и всички те са свързани с потока:

• Равномерен поток: Равномерен поток е този, при който скоростта, с която се движи течността, е една и съща във всяка точка на пространството. С други думи, приемаме, че течността не претърпява турбуленция.

• Несвиваемост: Приема се също, че идеалната течност е несвиваема, т.е. че има постоянна плътност през цялото време.

• Невискозитет: Вискозитетът е свойство на течностите, което в общи линии представлява съпротивлението, което течността оказва на движение. Вискозитетът може да се разглежда като аналог на механичното триене.

• Иротационен поток: С това предположение се отнасяме до факта, че движещата се течност не извършва никакъв тип кръгово движение около никоя точка от своя път.

Като правим тези допускания и разполагаме с идеална течност, ние значително опростяваме математическото третиране и ние също така гарантираме запазването на енергията, което е отправната точка към принципа на Бернули.

Уравнението на Бернули е обяснено

Нека разгледаме идеална течност, движеща се през тръба, както е показано на следната фигура:

Сега ще използваме теоремата за работа и кинетична енергия, която е друг начин за изразяване на Закона за запазване на енергията, това ни казва, че:

\(W = {\rm{\Делта }}K\)

Където \(W\) е общата механична работа и \({\rm{\Delta }}K\) е промяната в кинетичната енергия между две точки. В тази система имаме два вида механична работа, една, която се извършва от силата на гравитацията върху течността, и друга, която е резултат от налягането на течността. Нека \({W_g}\) е механичната работа, извършена от гравитацията и \({W_p}\) е механичната работа, извършена от натиск, тогава можем да кажем, че:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Делта }}K\)

Тъй като гравитацията е консервативна сила, извършената от нея механична работа ще бъде равна на разликата в гравитационната потенциална енергия между две точки. Първоначалната височина, на която се намира течността, е \({y_1}\), а крайната височина е \({y_2}\), следователно имаме:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Където \({\rm{\Delta }}m\) е частта от масата на течността, която преминава през определена точка, а \(g\) е ускорението, дължащо се на гравитацията. Тъй като идеалната течност е несвиваема, тогава \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Където \(\rho \) е плътността на течността и \({\rm{\Delta }}V\) е частта от обема, която протича през точка. Замествайки това в горното уравнение, получаваме:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Нека сега разгледаме механичната работа, извършена от налягането на течността. Налягането е силата, упражнявана върху единица площ, т.е. \(F = PA\). От друга страна, механичната работа се определя като \(W = F{\rm{\Delta }}x\), където \(F\) е приложената сила и \({\rm{\Delta }}x\) е изместването, извършено в този случай по оста x. В този контекст можем да мислим за \({\rm{\Delta }}x\) като дължината на частта течност, която протича през определена точка. Комбинирайки двете уравнения, получаваме, че \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Можем да разберем, че \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), тоест това е частта от обема, която протича през тази точка. Следователно имаме, че \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

В началната точка върху системата се извършва механична работа, равна на \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) и в крайната точка системата извършва механична работа върху околната среда, равна на \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Механичната работа, дължаща се на налягането на флуида, тогава ще бъде работата, извършена върху системата, минус работата, която тя извършва върху заобикалящата я среда, тоест, че:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Делта }}V\)

И накрая, разликата в кинетичната енергия \({\rm{\Delta }}K\) ще бъде равна на кинетичната енергия в крайната точка минус кинетичната енергия в началната точка. Това е:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

От горното знаем, че \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Тогава горното уравнение е както следва:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Замествайки всички получени резултати в уравнението за запазване на енергията, се получава, че:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Можем да разложим члена \({\rm{\Delta }}V\) от двете страни на уравнението, това води до:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \вдясно)\)

Разработвайки липсващите продукти, трябва да:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Пренареждайки всички членове от двете страни на уравнението, получаваме, че:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Това уравнение е връзка между началното състояние и крайното състояние на нашата система. Най-накрая можем да кажем, че:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = константа\)

Това последно уравнение е уравнението на Бернули, от което произлиза неговият принцип. Принципът на Бернули е закон за запазване на идеална течност в движение.

Препратки

Дейвид Халидей, Робърт Резник и Джърл Уокър. (2011). Основи на физиката. Съединени щати: John Wiley & Sons, Inc.