Co je to hierarchie operací?

Hierarchie operací je matematická konvence, která určuje pořadí, ve kterém by se měly provádět kombinované výpočetní akce v stejný matematický výrok, tedy když existuje matematický výrok, kde jsou matematické operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení, mocniny a odmocniny) dohromady, musí být provedeny ve specifickém pořadí, aby se dospělo k výsledku běžný.

Ale proč je potřeba hierarchie? Abychom na ni mohli odpovědět, musíme nejprve dobře porozumět podstatě matematických operací, které spočívají v transformaci, která je aplikována na prvky množiny. Představme si například množinu reálných čísel, tedy ta čísla, která všichni známe. Vezmeme-li číslo a a sečteme ho s jiným číslem b, získáme další číslo c, které patří do stejné množiny reálných čísel, tedy:

a+b = c

Pořadí, ve kterém jsou sčítání uvedeny, navíc neovlivňuje konečný výsledek, tedy ten a+b = b+a, tato vlastnost se nazývá komutativnost. Je důležité mluvit o sčítání, protože je to základní operace, od které se odvíjejí všechny ostatní. Násobení není nic jiného než série opakovaných sčítání. Máme-li opět číslo a a vynásobíme ho číslem b, pak někdy sčítáme číslo b samo se sebou, případně sčítáme b krát číslo a samo se sebou. To platí, protože násobení je komutativní jako sčítání, to znamená, že:

a⋅b = b⋅a. Výše uvedené lze vyjádřit takto:

Můžeme si to snadno představit na příkladu. Udělejme násobení 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Co když teď musíme provést operaci, kde jsme spojili sčítání s násobením? Například: a⋅b+c. V jakém pořadí se musí sčítání a násobení provádět? Které operaci musíme dát přednost? Pokud nejprve provedeme násobení a vytvoříme jej jako součet, měli bychom:

Nyní, pokud bychom nejprve provedli sčítání a poté násobení, dostali bychom:

Protože sčítání je komutativní, můžeme přeskupit pravou stranu rovnice a získat:

Porovnáním výsledků získaných v obou situacích je snadné si uvědomit, že:

Dojdeme tedy k závěru, že pořadí, ve kterém je rozhodnuto provést operace, ovlivňuje dosažený výsledek. Totéž se stane, když zapojíme síly. Když zvýšíme číslo b na mocninu c, uděláme to, že vynásobíme c krát číslo b samo se sebou, to znamená:

Nyní přistoupíme k provedení následující kombinované operace zahrnující násobení a mocninu a⋅b^C v jiném pořadí než v předchozím případě. Pokud dáváme přednost moci, máme:

Nyní, když nejprve provedeme násobení a poté mocninu, měli bychom:

S využitím komutativnosti násobení můžeme přeskupit pravou stranu rovnice jako:

Opět můžeme porovnat výsledky získané provedením operací v jiném pořadí, abychom si uvědomili, že:

Také v tomto případě pořadí, ve kterém jsou operace prováděny, ovlivňuje získaný výsledek. Takže, jaké je pořadí, ve kterém musí být operace prováděny? Hierarchie operací stanoví, že mocniny jsou na vyšší úrovni hierarchie než násobení, a to takovým způsobem, že mocniny mají v matematickém vyjádření přednost. Násobení má zase vyšší úroveň hierarchie než sčítání.

Ale co odčítání, dělení a kořeny? Odečítání je opačná operace sčítání, když odečteme číslo b od čísla a, získáme další číslo c takové, že c+b=a. Něco podobného se děje s dělením a odčítáním. Pokud vydělíme číslo a číslem b a dostaneme číslo c, našli jsme číslo takové, že b⋅c=a. A nakonec výpočtem kořene b čísla a najdeme číslo c takové, že c^b=a. Tyto ekvivalence staví odčítání, dělení a odmocninu na stejnou úroveň hierarchie jako sčítání, násobení a mocninu.

Procvičování závorek a závorek

Co se nyní stane, pokud chceme dát prioritu některým operacím v matematickém příkazu bez ohledu na úroveň jejich hierarchie? K tomu se používají závorky a hranaté závorky. Předpokládejme, že máme tvrzení principu a⋅b+c. S tím, co jsme si řekli dříve, již víme, že musíme nejprve provést násobení a poté sčítání. Ale co kdybychom chtěli, aby tomu tak nebylo? K tomu bychom museli pomocí závorek nebo hranatých závorek oddělit sčítání od násobení a dát tak přednost výpočtu sčítání, tedy: a⋅(b+c). To způsobí, že příkazy oddělené závorkami a hranatými závorkami mají nejvyšší prioritu před všemi ostatními operacemi.

Se vším, co bylo řečeno výše, je hierarchie operací nebo pořadí, ve kterém musí být provedeny, následující:

1) Závorky a závorky
2) Mocniny a odmocniny
3) Násobení a dělení
4) Sčítání a odčítání

Reference

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Picert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Základy matematiky: I. díl. Cambridge, Massachusetts a Londýn: The MIT Press.