Definice kvadratické/kvartické rovnice

Rovnice druhého stupně nebo, není-li to možné, kvadratická rovnice, vzhledem k neznámé, je vyjádřena ve tvaru:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Kde neznámá je \(x\), pokud \(a, b\) a c jsou reálné konstanty, s \(a \ne 0.\)

Existuje několik technik řešení kvadratických rovnic, včetně faktorizace, v takovém případě musíme vzít v úvahu následující vlastnost podle rozlišení:

Pokud je součin dvou čísel nula, pak jsou dvě možnosti:

1. Oba se rovnají nule.
2. Pokud je jedna nenulová, pak je druhá nula

Výše uvedené lze vyjádřit takto:
Jestliže \(pq = 0\), pak \(p = 0\) nebo \(q = 0\).

Praktický příklad 1: vyřešte rovnici \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Výchozí situace
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Přidejte 8 na obě strany rovnice a vyřešte \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Druhá odmocnina se získá hledáním izolace \(x.\) 8 je faktorizován a jsou aplikovány vlastnosti radikálů a mocnin.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Získáte kořen \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Řešení \({x^2} – 8\)=0 jsou:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Praktický příklad 2: Řešte rovnici \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Výchozí situace
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Druhá odmocnina ze 144 je 12. Je identifikován rozdíl čtverců.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	Rozdíl čtverců se zohledňuje
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Uvažujeme možnost, že faktor \(x + 12\) je roven 0. Získaná rovnice je vyřešena.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Uvažujeme možnost, že faktor \(x – 12\) je roven 0. Získaná rovnice je vyřešena.

Řešení rovnice \({x^2} – 144 = 0\) jsou

\(x = – 12,\;12\)

Praktický příklad 3: vyřešte rovnici \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Výchozí situace
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) je identifikován jako společný faktor a je provedena faktorizace.
\(x = 0\)	Uvažujme možnost, že faktor \(x\) je roven 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Uvažujeme možnost, že faktor \(x – 12\) je roven 0. Získaná rovnice je vyřešena.

Řešení rovnice \({x^2} + 3x = 0\) jsou:
\(x = – 3,0\)

Praktický příklad 4: Vyřešte rovnici \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Výchozí situace
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Druhá odmocnina z 49 je 7 a \(2x\levá( 7 \vpravo) = 14x.\) Je identifikován dokonalý čtvercový trojčlen.
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	Dokonalý čtvercový trojčlen je vyjádřen jako čtvercový binom.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Řešení \({x^2} – 14x + 49 = 0\) je:
\(x = 7\)

Praktický příklad 5: Řešte rovnici \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Výchozí situace
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Produkt \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	Vyjadřuje se jako \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\doleva( {5x – 4} \doprava) – 3\doleva( {5x – 4} \doprava) = 0\)	Identifikujte \(2x\) jako společný faktor v prvním sčítání a rozložte jej. Identifikujte \( – 3\) jako společný faktor ve druhém sčítání a rozložte jej.
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	Faktor společný faktor \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Uvažujeme možnost, že faktor \(5x – 12\) je roven 0. Získaná rovnice je vyřešena.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Zvažte možnost, že faktor \(2x – 3\) je roven 0. Získaná rovnice je vyřešena.

Řešení \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) jsou:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praktický příklad 6: Vyřešte rovnici \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Výchozí situace Trojčlen není dokonalý čtverec
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Přidejte -1 na každou stranu rovnice.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Protože \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) sečtením \({2^2}\), dostaneme dokonalý čtverec.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Přidejte \({2^2}\;\) na každou stranu rovnice. Levá strana je dokonalý čtverec.
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\)	Dokonalý čtvercový trojčlen je vyjádřen jako čtvercový binom.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Vezměte druhou odmocninu každé strany rovnice
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Řešení pro \(x\).

Řešení \({x^2} + 4x + 1 = 0\) jsou:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praktický příklad 7: Řešte rovnici \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Výchozí situace Trojčlen není dokonalý čtverec.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Přidejte 1 na každou stranu rovnice
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Vynásobte každou stranou rovnice tak, aby koeficient \({x^2}\) byl roven 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produkt je distribuován Protože \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), přidáním \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) dává dokonalý čtvercový trojčlen.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Přidejte 3 na obě strany rovnice a vyřešte \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Dokonalý čtvercový trojčlen je vyjádřen jako krychlový binom.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Vezměte druhou odmocninu každé strany rovnice
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Řešení pro \(x\).

Řešení \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) jsou:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Postup použitý ve výše uvedené rovnici bude použit k nalezení toho, co se nazývá obecný vzorec pro kvadratická řešení.

Obecný vzorec rovnice druhého stupně.

Obecný vzorec kvadratických rovnic

V této části zjistíme, jak obecně vyřešit kvadratickou rovnici

S \(a \ne 0\) uvažujme rovnici \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Protože \(a \ne 0\) stačí vyřešit:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Výchozí situace
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Přidejte \( – \frac{c}{a}\) na každou stranu rovnice.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Protože \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), přidáním \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) dává dokonalý čtvercový trinom.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Levá strana rovnice je dokonalý čtvercový trojčlen.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Dokonalý čtvercový trojčlen je vyjádřen jako čtvercový binom. Algebraický zlomek je hotový.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Vezměte druhou odmocninu každé strany rovnice.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Uplatňují se radikálové vlastnosti.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Platí vlastnosti absolutní hodnoty.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Ke každé straně rovnice přidejte \( – \frac{b}{{2a}}\), abyste vyřešili \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Algebraický zlomek je hotový.

Člen \({b^2} – 4{a^2}c\) se nazývá diskriminant kvadratické rovnice \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Když je diskriminant výše uvedené rovnice záporný, řešení jsou komplexní čísla a neexistují žádná skutečná řešení. Složitá řešení nebudou v této poznámce zahrnuta.

Dáno kvadratickou rovnicí \(a{x^2} + bx + c = 0\), jestliže \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Pak řešení této rovnice jsou:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Výraz:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Říká se tomu Obecný vzorec kvadratické rovnice.

Praktický příklad 8: vyřešte rovnici \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(na\)	\(b\)	\(C\)	Diskriminující	reálná řešení
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Řešení rovnice jsou:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praktický příklad 9: Řešte rovnici \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(na\)	\(b\)	\(C\)	Diskriminující	reálná řešení
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\left( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\vlevo( {17} \vpravo)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Řešení rovnice jsou:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praktický příklad 10: Řešte rovnici \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(na\)	\(b\)	\(C\)	Diskriminující	reálná řešení
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Nemá

Různé rovnice

Existují nekvadratické rovnice, které lze převést na kvadratickou rovnici, uvidíme dva případy.

Praktický příklad 11: Nalezení skutečných řešení rovnice \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Po změně proměnné \(y = \sqrt x \) zůstane předchozí rovnice:

\(6{y^2} = 5 – 13 let\)

\(6{y^2} + 13 let – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15 let – 2 roky – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Proto \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Protože \(\sqrt x \) označuje pouze kladné hodnoty, budeme uvažovat pouze:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Odpovědět:

Jediné skutečné řešení je:
\(x = \frac{1}{9}\)

Zpracovaný příklad 12: Vyřešte rovnici \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Provedení změny proměnné:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Dostaneme rovnici:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5r\)

\(6{y^2} – 5 let – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9 let + 4 roky – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

Možné hodnoty \(y\) jsou:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Z výše uvedeného budeme uvažovat pouze o pozitivním řešení.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Řešení jsou \(x = 9.\)