Definice dostředivé síly

Dostředivá síla je síla působící na objekt pohybující se po zakřivené dráze. Směr této síly je vždy směrem ke středu křivky a je to, co udržuje objekt na této dráze, což mu brání pokračovat v pohybu v přímce.

Křivočarý pohyb a dostředivá síla

Předpokládejme, že máme objekt pohybující se po kruhové dráze. K popisu křivočarého pohybu tohoto tělesa se používají úhlové a lineární proměnné. Úhlové proměnné jsou ty, které popisují pohyb objektu z hlediska úhlu, který „zametá“ podél své dráhy. Na druhou stranu lineární proměnné jsou ty, které používají jeho poloha vzhledem k bodu otáčení a jeho rychlost v tangenciálním směru křivka.

Dostředivé zrychlení \({a_c}\) zaznamenané objektem pohybujícím se po trajektorii kruhová s tečnou rychlostí \(v\) a ve vzdálenosti \(r\) od bodu rotace bude dána:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Centripetální zrychlení je lineární proměnná, která se používá k popisu křivočarého pohybu a směřuje ke středu zakřivené dráhy. Na druhé straně, úhlová rychlost ω objektu, to znamená rychlost změny úhlu rozmítání (v radiánech) za jednotku času, je dána vztahem:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Nebo můžeme vyřešit pro \(v\):

\(v = \omega r\)

Toto je vztah, který existuje mezi lineární rychlostí a úhlovou rychlostí. Pokud to zapojíme do výrazu pro dostředivé zrychlení, dostaneme:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Druhý Newtonův zákon nám říká, že zrychlení tělesa je přímo úměrné síle, která na něj působí, a nepřímo úměrné jeho hmotnosti. Nebo ve své nejznámější podobě:

\(F = mám\)

Kde \(F\) je síla, \(m\) je hmotnost objektu a \(a\) je zrychlení. V případě křivočarého pohybu, pokud existuje dostředivé zrychlení, musí existovat také síla dostředivé \({F_c}\), které působí na těleso o hmotnosti \(m\) a které způsobuje dostředivé zrychlení \({a_c}\), je říci:

\({F_c} = m{a_c}\)

Dosazením předchozích výrazů pro dostředivé zrychlení získáme, že:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Dostředivá síla směřuje ke středu křivočaré dráhy a je zodpovědná za neustále mění směr, kterým se objekt pohybuje, aby se udržel v pohybu zakřivený.

Gravitace jako dostředivá síla a třetí Keplerov zákon

Třetí Keplerov zákon pohybu planet říká, že druhá mocnina oběžné doby, tedy čas Doba, kterou planeta potřebuje k dokončení jednoho oběhu kolem Slunce, je úměrná třetí mocnině hlavní poloosy obíhat. to je:

\({T^2} = C{r^3}\)

Kde \(T\) je oběžná doba \(C\), je to konstanta a \(r\) je hlavní poloosa, neboli maximální vzdálenost mezi planetou a Sluncem po celé její oběžné dráze.

Pro jednoduchost uvažujme planetu o hmotnosti \(m\) pohybující se po kruhové dráze kolem Slunce, i když tato analýza může být rozšířena na případ eliptické dráhy a získat totéž výsledek. Síla, která udržuje planetu na její oběžné dráze, je gravitace, která bude:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Kde \({F_g}\) je gravitační síla, \({M_S}\) je hmotnost Slunce, \(G\) je univerzální gravitační konstanta a \(r\) je vzdálenost mezi planetami a slunce. Pokud se však planeta pohybuje po kruhové dráze, zažívá dostředivou sílu \({F_c}\), která jej udržuje na uvedené trajektorii a která z hlediska úhlové rychlosti \(\omega \) bude dána:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Zajímavé je, že v tomto případě je gravitace ta dostředivá síla, která udržuje planetu na její oběžné dráze, v několika slovech \({F_g} = {F_c}\), proto můžeme říci, že:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Což můžeme zjednodušit jako:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Úhlová rychlost souvisí s oběžnou dobou následujícím způsobem:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Dosazením do předchozí rovnice dostaneme, že:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Přeuspořádáním podmínek nakonec získáme, že:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Posledně jmenovaný je přesně třetí Keplerův zákon, který jsme uvedli dříve, a pokud porovnáme konstantu úměrnosti, byla by \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

A co odstředivá síla?

Pro tento typ pohybu je běžnější hovořit o „odstředivé síle“ místo o síle dostředivé. Především proto, že to zjevně cítíme, když to zažíváme. Odstředivá síla je však fiktivní síla vyplývající ze setrvačnosti.

Představme si, že jedeme v autě, které jede určitou rychlostí a náhle zabrzdí. Když se to stane, pocítíme sílu, která nás tlačí vpřed, nicméně tato zdánlivá síla, kterou cítíme, je setrvačnost našeho vlastního těla, které si chce udržet svůj stav pohybu.

V případě křivočarého pohybu je odstředivá síla setrvačností tělesa, které si chce udržet přímočarý pohyb, ale je vystaven dostředivé síle, která jej udržuje na zakřivené dráze.

Reference

David Halliday, Robert Resnick a Jearl Walker. (2011). Základy fyziky. Spojené státy: John Wiley & Sons, Inc.