Hvordan defineres Thales' sætning?

Fra Thales' sætning, givet flere parallelle linjer, siges linjen \(T\) at være på tværs af de parallelle linjer, hvis den skærer hver af de parallelle linjer.

I figur 1 er linjerne \({T_1}\) og \({T_2}\) tværgående i forhold til de parallelle linjer \({L_1}\) og \({L_2}.\)

Thales' sætning (svag version)
Hvis flere paralleller bestemmer kongruente segmenter (der måler det samme) i en af ​​deres to tværgående linjer, vil de også bestemme kongruente segmenter i de andre tværgående.

I figur 2 er de sorte linjer parallelle, og du skal:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Vi kan sikre følgende:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Det siges, at den kloge Thales af Miletus målte højden af ​​Cheops-pyramiden, til dette brugte han skygger og anvendelsen af ​​trekantslighedsegenskaber. Thales' sætning er grundlæggende for udviklingen af ​​begrebet trekanters lighed.

Forhold og egenskaber af proportioner

Et forhold er kvotienten af ​​to tal, med divisoren anden end nul; det vil sige:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{med\;}}b \ne 0\)

En andel er ligheden mellem to forhold, det vil sige:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) kaldes også proportionalitetskonstanten.

Egenskaber af proportioner

Hvis \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) så for \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

eksempler

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Parret af segmenter \(\overline {AB} \) og \(\overline {CD} \) siges at være proportional med segmenterne \(\overline {EF} \) og \(\overline {GH} \) hvis andelen er opfyldt:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Hvor \(AB\;\) angiver længden af ​​segmentet \(\overline {AB} .\)

Thales' teorem

Går vi tilbage til definitionen, bestemmer flere paralleller proportionale tilsvarende segmenter i deres tværgående linjer.

I figur 3 er de rette linjer parallelle, og vi kan sikre:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Lad os bemærke, at de første to foregående proportioner svarer til følgende proportioner:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Af ovenstående vi får:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Ved mange lejligheder er det bedre at arbejde med de tidligere proportioner og i dette tilfælde:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Omvendt til Thales' sætning

Hvis flere linjer bestemmer proportionale tilsvarende segmenter i deres tværgående linjer, er linjerne parallelle

Hvis det i figur 4 er opfyldt

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Så kan vi bekræfte, at: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Notationen \({L_1}\parallel {L_2}\), læst \({L_1}\) er parallel med \({L_2}\).

Fra den foregående andel får vi:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Opdeling af et segment i flere lige lange dele

Gennem et konkret eksempel vil vi illustrere, hvordan man deler et segment op i lige lange dele.

Opdel segmentet \(\overline {AB} \) i 7 segmenter af lige længde

Indledende situation

Tegn en hjælpelinje, der går gennem en af ​​enderne af segmentet

Med støtte fra et kompas tegnes 7 segmenter af lige længde på hjælpelinjen

Tegn linjen, der forbinder enderne af det sidst tegnede stykke og den anden ende af stykket, der skal opdeles

De er tegnet parallelt med den sidst tegnede linje, der passerer gennem de punkter, hvor omkredsens buer skærer hjælpelinjen.

Givet et segment \(\overline {AB} \), siges et punkt \(P\) af segmentet at dividere segmentet \(\overline {AB} \), i forholdet \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Opdeling af et segment i et givet forhold

Givet et segment \(\overline {AB} \), og to positive heltal \(a, b\); punktet \(P\), der deler segmentet i forholdet \(\frac{a}{b};\;\), kan findes som følger:

1. Opdel segmentet \(\overline {AB} \) i \(a + b\) segmenter af samme længde.
2. Tag \(a\) segmenter, der tæller fra punkt \(A\).

eksempler

Division af segmentet \(\overline {AB} \) i forholdet \(\frac{a}{b}\)

Grund	Antal dele, som segmentet er opdelt i	Placering af punkt \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Anvendte eksempler på Thales' sætning

ansøgning 1: Tre grunde strækker sig fra Sol-gaden til Luna-gaden, som vist i figur 5.

De laterale grænser er segmenter vinkelret på Luna Street. Hvis den samlede facade af grundene på Solgaden måler 120 meter, bestemmes facaden af ​​hver grund på nævnte gade, hvis den også er kendt:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Problemformulering

Da linjerne er vinkelrette på Luna Street, så er de parallelle med hinanden, ved at anvende Thales' sætning kan vi bekræfte:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Af ovenstående vi kan konkludere:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

På samme måde kan vi konkludere:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Løsning

For at bestemme proportionalitetskonstanten \(k,\) vil vi bruge egenskaber for proportioner:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Fra ovenstående får vi:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\venstre( {10} \right) = 12.\)

Analogt:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\venstre( {30} \right) = 36\)

Svar

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Længde	12m	48m	24m	36m

ansøgning 2: En grafisk designer har designet en hylde i form af et parallelogram og placerer 3 hylder som vist i Figur 6, punkterne E og F er midtpunkterne på siderne \(\overline {AD} \) og \(\overline {BC} ,\) henholdsvis. Man skal lave snit i hylderne for at kunne lave samlingerne. I hvilken del af hylderne skal snittene laves?

Problemformulering: På grund af de betingelser, der er angivet i opgaven, er følgende opfyldt:

\(ED = EA = CF = BF\)

Som hjælpekonstruktioner vil vi forlænge siderne \(\overline {CB} \) og \(\overline {DA} \). En linje trækkes gennem punktet A gennem \(A\) og parallelt med siden \(\overline {EB} \) og gennem punktet \(C\;\) trækkes en linje parallelt med siden \(\overline {DF} \).

Vi vil bruge det omvendte af Thales' sætning til at vise, at segmenterne \(\overline {EB} \) og \(\overline {DF} \) er parallelle for at anvende Thales' sætning.

Løsning

Ved konstruktion er firkanten \(EAIB\) et parallelogram, så vi har, at EA=BI, da de er modsatte sider af et parallelogram. Nu:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Ved at anvende det reciproke og det gensidige i Thales' sætning kan vi konkludere:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Tager segmenterne \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) og segmenterne BC og CI som deres tværgående; som:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Ved at tage \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) og segmenterne \(\overline {AC} \) og \(\overline {EB} \) som deres tværgående, vil vi have:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

På samme måde er det vist, at:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Svar

Diagonale snit \(\overline {AC} \) skal foretages i punkterne \(G\;\) og \(H\), således at:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Det samme gælder for hylderne \(\overline {EB} \) og \(\overline {DF} \).