Definition af rationalisering af radikale (matematik)

Rationaliseringen af ​​radikaler er en matematisk proces, der udføres, når der er en kvotient med radikaler eller rødder i nævneren. På denne måde kan matematiske operationer lettes, hvor kvotienter med radikaler og andre typer matematiske objekter er involveret.

Typer af kvotienter med radikaler

Det er vigtigt at nævne nogle typer af kvotienter med radikaler, der kan rationaliseres. Men før du går helt ind i strømliningsprocessen, skal et par vigtige begreber huskes. Antag først, at vi har følgende udtryk: \(\sqrt[m]{n}\). Dette er roden \(m\) af tallet \(n\), det vil sige, resultatet af nævnte operation er et tal, således at hvis det hæves til potensen \(m\) får vi tallet \(n\) som et resultat). Potensen og roden er inverse operationer på en sådan måde, at: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
På den anden side er det værd at nævne, at produktet af to lige store rødder er lig med roden af ​​produktet, det vil sige: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Disse to ejendomme vil være vores bedste allierede, når vi rationaliserer.

Den mest almindelige og enkle type kvotient med en radikal, som vi kan finde, er følgende:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Hvor \(a\), \(b\) og \(c\) kan være alle reelle tal. Rationaliseringsprocessen består i dette tilfælde i at finde en måde at få i kvotienten udtrykket \(\sqrt {{c^2}} = c\) for at slippe af med radikalet. I dette tilfælde er det nok at gange med \(\sqrt c \) både tælleren og nævneren:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Når vi husker det, der blev nævnt ovenfor, ved vi, at \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Derfor får vi endelig, at:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

På denne måde har vi rationaliseret det tidligere udtryk. Dette udtryk er intet andet end et bestemt tilfælde af et generelt udtryk, der er følgende:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Hvor \(a\), \(b\), \(c\) er reelle tal og \(n\), \(m\) er positive potenser. Rationaliseringen af ​​dette udtryk er baseret på samme princip som det foregående, det vil sige få udtrykket \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) i nævneren. Vi kan opnå dette ved at gange med \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) både tælleren og nævneren:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Vi kan udvikle produktet af radikaler i nævneren som følger: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Derfor forbliver den rationaliserede kvotient som:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

En anden type kvotient med radikaler, der kan rationaliseres, er den, hvor vi har et binomium med kvadratrødder i nævneren:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Hvor \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) og \(e\;\)er reelle tal. Symbolet \( ± \) angiver, at tegnet kan være positivt eller negativt. Nævneren binomial kan have begge rødder eller kun én, men vi bruger denne kasus til at få et mere generelt resultat. Den centrale idé om at gennemføre rationaliseringsprocessen i dette tilfælde er den samme som i de tidligere sager, kun det i dette tilfælde vil vi gange både tælleren og nævneren med konjugatet af binomialet fundet i nævner. Konjugatet af et binomial er et binomium, der har de samme udtryk, men hvis centrale symbol er modsat det oprindelige binomium. For eksempel er konjugatet af binomialet \(ux + vy\) \(ux – vy\). Når det er sagt, så har vi:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Symbolet \( \mp \) angiver, at tegnet kan være positivt eller negativt, men det skal være modsat symbolet for nævneren, for at binomialerne kan konjugeres. Ved at udvikle multiplikationen af ​​binomialer af nævneren opnår vi, at:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Endelig får vi det:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Hermed har vi rationaliseret kvotienten med radikal. Disse kvotienter med radikale er dem, der generelt kan rationaliseres. Dernæst vil vi se nogle eksempler på rationalisering af radikale.

eksempler

Lad os se på nogle eksempler på rationalisering med kvotienter med radikaler af den ovenfor nævnte type. Antag først, at vi har følgende kvotient:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

I dette tilfælde er det nok at gange tælleren og nævneren med \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Antag nu, at vi har følgende kvotient med radikal:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

I dette tilfælde har vi en sjette rod af en kubikpotens. I det foregående afsnit nævnte vi, at hvis vi har en radikal af formen \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) i nævner, kan vi rationalisere kvotienten ved at gange tælleren og nævneren med \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Ved at sammenligne dette med det her præsenterede tilfælde kan vi indse, at \(n = 6\), \(c = 4\) og \(m = 3\), derfor Derfor kan vi rationalisere den foregående kvotient ved at gange tælleren og nævneren med \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Antag endelig, at vi har følgende funktion:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Som vist i det foregående afsnit, for at rationalisere denne type kvotient med radikaler, skal du gange tælleren og nævneren med konjugatet af nævneren. I dette tilfælde ville konjugatet af nævneren være \(x – \sqrt x \). Derfor vil udtrykket være som følger:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Ved at udvikle multiplikationen af ​​konjugerede binomialer af nævneren opnår vi endelig at:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Referencer

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). Aritmetik. Mexico: Pearson Education.