Definition af Bernoullis princip/ligning

Bernoullis princip, ofte også kaldet Bernoullis ligning, er et af de vigtigste begreber inden for hydrodynamik og fluidmekanik. Det blev formuleret af den schweiziske fysiker og matematiker Daniel Bernoulli i 1738 som en del af hans arbejde "hydrodynamik” og en del af bevarelsen af ​​energi i en ideel væske i bevægelse.

Lad os forestille os følgende situation: Vi har en slange, som der strømmer vand igennem, som forlader slangen med en vis hastighed og et vist tryk. Derefter fortsætter vi med delvist at dække slangens udgangshul med en finger; ved at gøre dette ser vi, hvordan vandet nu kommer ud med større hastighed. Dette er et eksempel på Bernoullis princip i handling.

Ideelle væsker i bevægelse

Bernoullis princip gælder for ideelle væsker i bevægelse, så før vi fortsætter med at forklare dette princip, er det vigtigt at nævne, hvad vi mener med ideel væske. En ideel væske er en forenkling af en rigtig væske, dette gøres fordi beskrivelsen af ​​en væske ideal er matematisk enklere og giver os nyttige resultater, som senere kan udvides til væsketilfældet ægte.

Der er fire antagelser, der er lavet for at betragte en væske for at være ideel, og de har alle at gøre med flow:

• Konstant flow: Et konstant flow er et, hvor hastigheden, hvormed væsken bevæger sig, er den samme på ethvert punkt i rummet. Med andre ord antager vi, at væsken ikke undergår turbulens.

• Inkompressibilitet: Det antages også, at en ideel væske er inkompressibel, det vil sige, at den hele tiden har en konstant tæthed.

• Ikke-viskositet: Viskositet er en egenskab ved væsker, der generelt repræsenterer den modstand, som væsken modsætter sig bevægelse. Viskositet kan opfattes som analog med mekanisk friktion.

• Irrotationsflow: Med denne antagelse henviser vi til det faktum, at den bevægelige væske ikke udfører nogen form for cirkulær bevægelse omkring noget punkt på sin vej.

Ved at gøre disse antagelser og have en ideel væske forenkler vi i høj grad den matematiske behandling og vi sikrer også bevarelse af energi, som er udgangspunktet mod princippet om Bernoulli.

Bernoullis ligning forklaret

Lad os overveje en ideel væske, der bevæger sig gennem et rør som vist i følgende figur:

Vi vil nu bruge arbejds- og kinetisk energisætningen, som er en anden måde at udtrykke loven om energibevarelse på, dette fortæller os at:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Hvor \(W\) er det samlede mekaniske arbejde og \({\rm{\Delta }}K\) er ændringen i kinetisk energi mellem to punkter. I dette system har vi to typer mekanisk arbejde, en der udføres af tyngdekraften på væsken og en anden der er et resultat af væskens tryk. Lad \({W_g}\) være det mekaniske arbejde udført af tyngdekraften og \({W_p}\) være det mekaniske arbejde udført af tryk, vi kan så sige at:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Da tyngdekraften er en konservativ kraft, vil det mekaniske arbejde, den udfører, være lig med forskellen i tyngdekraftens potentielle energi mellem to punkter. Den oprindelige højde, hvor væsken findes, er \({y_1}\) og den endelige højde er \({y_2}\), derfor har vi:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Hvor \({\rm{\Delta }}m\) er den del af massen af ​​væske, der passerer gennem et bestemt punkt, og \(g\) er accelerationen på grund af tyngdekraften. Da den ideelle væske er inkompressibel, så er \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Hvor \(\rho \) er densiteten af ​​væsken og \({\rm{\Delta }}V\) er den del af volumen, der strømmer gennem et punkt. Ved at indsætte dette i ovenstående ligning får vi:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Lad os nu overveje det mekaniske arbejde udført af væsketrykket. Tryk er den kraft, der udøves pr. arealenhed, det vil sige \(F = PA\). På den anden side er mekanisk arbejde defineret som \(W = F{\rm{\Delta }}x\) hvor \(F\) er den påførte kraft og \({\rm{\Delta }}x\) er forskydningen udført i dette tilfælde på x-aksen. I denne sammenhæng kan vi tænke på \({\rm{\Delta }}x\) som længden af ​​den del af væske, der strømmer gennem et bestemt punkt. Ved at kombinere begge ligninger har vi, at \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Vi kan indse, at \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), det vil sige, det er den del af volumen, der strømmer gennem det punkt. Derfor har vi den \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

På det indledende tidspunkt udføres mekanisk arbejde på systemet svarende til \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) og ved slutpunktet udfører systemet mekanisk arbejde på omgivelserne svarende til \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Det mekaniske arbejde på grund af væsketrykket vil da være det arbejde, der udføres på systemet minus det arbejde, det udfører på dets omgivelser, det vil sige:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

Endelig vil forskellen i kinetisk energi \({\rm{\Delta }}K\) være lig med den kinetiske energi ved slutpunktet minus den kinetiske energi ved startpunktet. Det er:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\venstre( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Fra ovenstående ved vi, at \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Ovenstående ligning er så som:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Ved at erstatte alle resultaterne opnået i energibesparelsesligningen opnås det, at:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Vi kan faktorisere udtrykket \({\rm{\Delta }}V\) på begge sider af ligningen, dette fører til:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \højre)\)

Udvikling af de manglende produkter, vi skal:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Ved at omarrangere alle led på begge sider af ligningen får vi, at:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Denne ligning er et forhold mellem den oprindelige tilstand og den endelige tilstand af vores system. Vi kan endelig sige:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konstant\)

Denne sidste ligning er Bernoulli-ligningen, hvorfra dens princip er afledt. Bernoullis princip er en bevarelseslov for en ideel væske i bevægelse.

Referencer

David Halliday, Robert Resnick og Jearl Walker. (2011). Grundlæggende om fysik. USA: John Wiley & Sons, Inc.