Wie ist der Satz von Thales definiert?

Aus dem Satz von Thales geht hervor, dass bei mehreren parallelen Linien die Linie \(T\) transversal zu den parallelen Linien ist, wenn sie jede der parallelen Linien schneidet.

In Abbildung 1 verlaufen die Linien \({T_1}\) und \({T_2}\) quer zu den parallelen Linien \({L_1}\) und \({L_2}.\)

Satz von Thales (schwache Version)
Wenn mehrere Parallelen kongruente Segmente (die dasselbe messen) in einer ihrer beiden Transversallinien bestimmen, werden sie auch kongruente Segmente in den anderen Transversalen bestimmen.

In Abbildung 2 sind die schwarzen Linien parallel und Sie müssen:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Folgendes können wir sicherstellen:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Es wird gesagt, dass der weise Thales von Milet die Höhe der Cheops-Pyramide gemessen hat, dazu verwendete er Schatten und die Anwendung von Dreiecksähnlichkeitseigenschaften. Der Satz von Thales ist grundlegend für die Entwicklung des Konzepts der Ähnlichkeit von Dreiecken.

Verhältnisse und Eigenschaften von Proportionen

Ein Verhältnis ist der Quotient zweier Zahlen, wobei der Divisor nicht Null ist; das heißt:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{mit\;}}b \ne 0\)

Ein Anteil ist die Gleichheit zweier Verhältnisse, das heißt:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) wird auch als Proportionalitätskonstante bezeichnet.

Eigenschaften von Proportionen

Wenn \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) dann für \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

Beispiele

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Das Streckenpaar \(\overline {AB} \) und \(\overline {CD} \) soll proportional zu den Strecken \(\overline {EF} \) und \(\overline {GH} \) sein wenn der Anteil erfüllt ist:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Wobei \(AB\;\) die Länge des Segments bezeichnet \(\overline {AB} .\)

Satz von Thales

Um auf die Definition zurückzukommen, bestimmen mehrere Parallelen proportionale entsprechende Segmente in ihren Querlinien.

In Abbildung 3 sind die geraden Linien parallel und wir können sicherstellen:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Beachten Sie, dass die ersten beiden vorherigen Proportionen den folgenden Proportionen entsprechen:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Von oben wir bekommen:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Bei vielen Gelegenheiten ist es besser, mit den vorherigen Proportionen zu arbeiten und in diesem Fall:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Umkehrung des Satzes von Thales

Wenn mehrere Linien proportional entsprechende Segmente in ihren Querlinien bestimmen, dann sind die Linien parallel

Wenn in Abbildung 4 es erfüllt ist

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Dann können wir Folgendes bestätigen: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Die Notation \({L_1}\parallel {L_2}\), also \({L_1}\) ist parallel zu \({L_2}\).

Aus dem vorherigen Verhältnis erhalten wir:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Teilung eines Segments in mehrere gleich lange Teile

Anhand eines konkreten Beispiels soll gezeigt werden, wie man ein Segment in gleich lange Teile aufteilt.

Teilen Sie das Segment \(\overline {AB} \) in 7 gleich lange Segmente

Ausgangssituation

Zeichnen Sie eine Hilfslinie, die durch eines der Enden des Segments verläuft

Mit Hilfe eines Zirkels werden auf der Hilfslinie 7 gleich lange Segmente eingezeichnet

Zeichnen Sie die Linie, die die Enden des zuletzt gezeichneten Segments und das andere Ende des zu teilenden Segments verbindet

Sie werden parallel zur zuletzt gezeichneten Linie gezeichnet, die durch die Punkte verläuft, an denen sich die Bögen des Umfangs mit der Hilfslinie schneiden.

Bei gegebener Strecke \(\overline{AB}\) teilt ein Punkt \(P\) der Strecke die Strecke \(\overline{AB}\), im Verhältnis \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Teilung eines Segments in einem bestimmten Verhältnis

Gegeben seien ein Segment \(\overline {AB} \) und zwei positive ganze Zahlen \(a, b\); den Punkt \(P\), der die Strecke im Verhältnis \(\frac{a}{b};\;\) teilt, findet man wie folgt:

1. Teile die Strecke \(\overline {AB} \) in \(a + b\) gleich lange Strecken.
2. Nehmen Sie \(a\) Segmente und zählen Sie von Punkt \(A\).

Beispiele

Teilung der Strecke \(\overline{AB} \) im Verhältnis \(\frac{a}{b}\)

Grund	Anzahl der Teile, in die das Segment unterteilt wird	Lage des Punktes \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Angewandte Beispiele für den Satz von Thales

Anwendung 1: Drei Grundstücke erstrecken sich von der Sol Street bis zur Luna Street, wie in Abbildung 5 gezeigt.

Die seitlichen Begrenzungen sind Segmente senkrecht zur Luna Street. Wenn die Gesamtfront der Grundstücke in der Sol-Straße 120 Meter misst, bestimmen Sie die Front jedes Grundstücks in dieser Straße, wenn sie auch bekannt ist:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Problemstellung

Da die Linien senkrecht zur Luna Street verlaufen, sind sie parallel zueinander, indem wir den Satz von Thales anwenden, können wir bestätigen:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Von oben können wir schließen:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Ebenso können wir schließen:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Lösung

Um die Proportionalitätskonstante \(k,\) zu bestimmen, verwenden wir Eigenschaften von Proportionen:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Aus dem Obigen erhalten wir:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\links( {10} \rechts) = 12.\)

Analog:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 {5}\links( {30} \rechts) = 36\)

Antworten

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Länge	12m	48m	24m	36m

Anwendung 2: Ein Grafikdesigner hat ein Regal in Form eines Parallelogramms entworfen und wird 3 Regale wie in gezeigt platzieren Abbildung 6, die Punkte E und F sind die Mittelpunkte der Seiten \(\overline {AD} \) und \(\overline {BC} ,\) bzw. Sie müssen Schnitte in den Regalen vornehmen, um die Baugruppen herstellen zu können. In welchem ​​Teil der Regale sollen die Schnitte gemacht werden?

Aufgabenstellung: Aufgrund der in der Aufgabenstellung angegebenen Bedingungen ist folgendes erfüllt:

\(ED = EA = CF = BF\)

Als Hilfskonstruktionen verlängern wir die Seiten \(\overline {CB} \) und \(\overline {DA} \). Durch den Punkt A wird eine Linie durch \(A\) und parallel zur Seite \(\overline {EB} \) gezogen und durch den Punkt \(C\;\) wird eine Linie parallel zur Seite \(\overline {DF} \).

Wir werden die Umkehrung des Satzes von Thales verwenden, um zu zeigen, dass die Segmente \(\overline {EB} \) und \(\overline {DF} \) parallel sind, um den Satz von Thales anzuwenden.

Lösung

Konstruktionsbedingt ist das Viereck \(EAIB\) ein Parallelogramm, also haben wir EA=BI, da sie gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind. Jetzt:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Wenden wir den Kehrwert auf den Kehrwert des Satzes von Thales an, können wir schließen:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Nimmt man die Strecken \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) und die Strecken BC und CI als ihre Transversalen; als:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Nimmt man \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) und die Segmente \(\overline {AC} \) und \(\overline {EB} \) als ihre Transversalen, so erhält man:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Ebenso wird gezeigt, dass:

\(\frac{{DH}}{{HF}}=2\)

Antworten

Diagonalschnitte \(\overline {AC} \) müssen an den Punkten \(G\;\) und \(H\) gemacht werden, so dass:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Dasselbe gilt für die Regale \(\overline {EB} \) und \(\overline {DF} \).