Definition des Bernoulli-Prinzips/der Bernoulli-Gleichung

Das Bernoulli-Prinzip, oft auch Bernoulli-Gleichung genannt, ist eines der wichtigsten Konzepte der Hydrodynamik und Strömungsmechanik. Es wurde 1738 vom Schweizer Physiker und Mathematiker Daniel Bernoulli im Rahmen seines Werkes „Hydrodynamik” und Teil der Energieerhaltung in einer idealen Flüssigkeit in Bewegung.

Stellen wir uns folgende Situation vor: Wir haben einen Schlauch, durch den Wasser fließt, das den Schlauch mit einer bestimmten Geschwindigkeit und einem bestimmten Druck verlässt. Dann decken wir das Austrittsloch des Schlauchs teilweise mit einem Finger ab; Dadurch sehen wir, wie das Wasser nun mit größerer Geschwindigkeit austritt. Dies ist ein Beispiel für die Umsetzung des Bernoulli-Prinzips.

Ideale Flüssigkeiten in Bewegung

Bernoullis Prinzip gilt für ideale Flüssigkeiten in Bewegung. Bevor wir dieses Prinzip erklären, ist es wichtig zu erwähnen, was wir unter idealer Flüssigkeit verstehen. Eine ideale Flüssigkeit ist eine Vereinfachung einer realen Flüssigkeit, dies erfolgt zur Beschreibung einer Flüssigkeit Ideal ist mathematisch einfacher und liefert uns nützliche Ergebnisse, die später auf den Flüssigkeitsfall ausgeweitet werden können real.

Um eine Flüssigkeit als ideal zu betrachten, werden vier Annahmen getroffen, die alle mit der Strömung zu tun haben:

• Stetige Strömung: Eine stetige Strömung ist eine Strömung, bei der die Geschwindigkeit, mit der sich die Flüssigkeit bewegt, an jedem Punkt im Raum gleich ist. Mit anderen Worten: Wir gehen davon aus, dass die Flüssigkeit keiner Turbulenz unterliegt.

• Inkompressibilität: Man geht auch davon aus, dass ein ideales Fluid inkompressibel ist, also zu jedem Zeitpunkt eine konstante Dichte aufweist.

• Nichtviskosität: Viskosität ist eine Eigenschaft von Flüssigkeiten, die im Allgemeinen den Widerstand darstellt, den die Flüssigkeit einer Bewegung entgegensetzt. Viskosität kann man sich analog zur mechanischen Reibung vorstellen.

• Rotationsströmung: Mit dieser Annahme meinen wir, dass die bewegte Flüssigkeit an keinem Punkt ihrer Bahn irgendeine Art von Kreisbewegung ausführt.

Indem wir diese Annahmen treffen und über eine ideale Flüssigkeit verfügen, vereinfachen wir die mathematische Behandlung erheblich Wir sorgen auch für die Energieeinsparung, die den Ausgangspunkt für das Prinzip von darstellt Bernoulli.

Bernoullis Gleichung erklärt

Betrachten wir eine ideale Flüssigkeit, die sich durch ein Rohr bewegt, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Wir werden nun den Satz von Arbeit und kinetischer Energie verwenden, der eine andere Möglichkeit ist, das Gesetz der Energieerhaltung auszudrücken. Er sagt uns Folgendes:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Dabei ist \(W\) die gesamte mechanische Arbeit und \({\rm{\Delta }}K\) die Änderung der kinetischen Energie zwischen zwei Punkten. In diesem System gibt es zwei Arten mechanischer Arbeit: eine, die durch die Schwerkraft auf die Flüssigkeit verrichtet wird, und eine andere, die aus dem Druck der Flüssigkeit resultiert. Sei \({W_g}\) die mechanische Arbeit, die durch die Schwerkraft geleistet wird, und \({W_p}\) die mechanische Arbeit, die durch den Druck geleistet wird. Wir können dann sagen:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Da die Schwerkraft eine konservative Kraft ist, entspricht die von ihr verrichtete mechanische Arbeit der Differenz der potentiellen Gravitationsenergie zwischen zwei Punkten. Die anfängliche Höhe, in der sich die Flüssigkeit befindet, ist \({y_1}\) und die endgültige Höhe ist \({y_2}\), daher haben wir:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Dabei ist \({\rm{\Delta }}m\) der Massenanteil der Flüssigkeit, der durch einen bestimmten Punkt fließt, und \(g\) die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft. Da das ideale Fluid inkompressibel ist, gilt \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Dabei ist \(\rho \) die Dichte der Flüssigkeit und \({\rm{\Delta }}V\) der Volumenanteil, der durch einen Punkt fließt. Wenn wir dies in die obige Gleichung einsetzen, erhalten wir:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Betrachten wir nun die mechanische Arbeit, die durch den Druck der Flüssigkeit verrichtet wird. Druck ist die pro Flächeneinheit ausgeübte Kraft, also \(F = PA\). Andererseits ist mechanische Arbeit definiert als \(W = F{\rm{\Delta }}x\), wobei \(F\) die ausgeübte Kraft ist und \({\rm{\Delta }}x\) ist die in diesem Fall durchgeführte Verschiebung auf der x-Achse. In diesem Zusammenhang können wir uns \({\rm{\Delta }}x\) als die Länge des Flüssigkeitsanteils vorstellen, der durch einen bestimmten Punkt fließt. Wenn wir beide Gleichungen kombinieren, erhalten wir \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Wir können erkennen, dass \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), das heißt, es ist der Teil des Volumens, der durch diesen Punkt fließt. Daher gilt \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Am Anfangspunkt wird mechanische Arbeit am System verrichtet, die gleich \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) ist. und am Endpunkt verrichtet das System mechanische Arbeit an der Umgebung gleich \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Die mechanische Arbeit aufgrund des Drucks der Flüssigkeit ist dann die am System geleistete Arbeit abzüglich der Arbeit, die es an seiner Umgebung verrichtet, d. h.:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

Schließlich ist die Differenz der kinetischen Energie \({\rm{\Delta }}K\) gleich der kinetischen Energie am Endpunkt minus der kinetischen Energie am Startpunkt. Das ist:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Aus dem oben Gesagten wissen wir, dass \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Die obige Gleichung lautet dann wie folgt:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Setzt man alle erhaltenen Ergebnisse in die Energieeinsparungsgleichung ein, erhält man Folgendes:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Wir können den Term \({\rm{\Delta }}V\) auf beiden Seiten der Gleichung faktorisieren, das führt zu:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \Rechts)\)

Um die fehlenden Produkte zu entwickeln, müssen wir:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Wenn wir alle Terme auf beiden Seiten der Gleichung neu anordnen, erhalten wir Folgendes:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Diese Gleichung ist eine Beziehung zwischen dem Anfangszustand und dem Endzustand unseres Systems. Endlich können wir sagen:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = Konstante\)

Diese letzte Gleichung ist die Bernoulli-Gleichung, aus der ihr Prinzip abgeleitet ist. Das Bernoulli-Prinzip ist ein Erhaltungssatz für eine ideale Flüssigkeit in Bewegung.

Verweise

David Halliday, Robert Resnick und Jearl Walker. (2011). Grundlagen der Physik. Vereinigte Staaten: John Wiley & Sons, Inc.