Beispiel für Binomialquadrat

Ein Binomial ist ein algebraischer Ausdruck, der aus zwei addierten oder subtrahierten Termen besteht. Diese Begriffe können wiederum positiv oder negativ sein.

EIN Binomial im Quadrat ist ein algebraische Summe, die sich selbst addiert, das heißt, wenn wir das Binomial a + b haben, ist das Quadrat dieses Binomials (a + b) (a + b) und wird als (a + b) ausgedrückt.².

Das Produkt eines quadrierten Binomials heißt perfektes quadratisches Trinom. Es heißt perfektes Quadrat, weil das Ergebnis seiner Quadratwurzel immer ein Binomial ist.

Wie bei jeder algebraischen Multiplikation erhält man das Ergebnis, indem man jeden der Terme des ersten Termes mit den Termen des zweiten multipliziert und die gemeinsamen Terme addiert:

Beim Quadrieren des Binomials x + z führen wir die Multiplikation wie folgt durch:

(x + z)² = (x + z) (x + z) = (x) (x) + (x) (z) + (z) (x) + (z) (z) = x²+ xz + xz + z² = x²+ 2xz + z²

Wenn das Binomial x – z ist, lautet die Operation:

(x-z)² = (x – z) (x – z) = (x) (x) + (x) (–z) + (–z) (x) + (z) (z) = x²–Xz – xz + z² = x²–2xz + z²

Hier ist es praktisch, sich einige wichtige Punkte zu merken:

Jede quadrierte Zahl ergibt als Ergebnis immer eine positive Zahl: (a) (a) = a²; (–A) (–a) = a²

Jeder potenzierte Exponent wird mit der Potenz multipliziert, mit der er potenziert wird. In diesem Fall werden alle quadrierten Exponenten mit 2 multipliziert: (a³)² = a⁶; (–B⁴)² = b⁸

Das Ergebnis eines quadrierten Binomials ist immer a perfektes quadratisches Trinom. Diese Arten von Operationen werden als bemerkenswerte Produkte bezeichnet. Bei bemerkenswerten Produkten kann das Ergebnis durch Inspektion erhalten werden, d. h. ohne alle Operationen in der Gleichung durchzuführen. Beim quadrierten Binomial erhält man das Ergebnis mit den folgenden Prüfregeln:

1. Wir schreiben das Quadrat des ersten Termes.
2. Für den zweiten Term addieren wir zweimal den ersten.
3. Wir addieren das Quadrat des zweiten Termes.

Wenn wir diese Regeln auf die oben verwendeten Beispiele anwenden, erhalten wir:

(x + z)²

1. Wir schreiben das Quadrat des ersten Termes: x²
2. Wir werden den ersten zum zweiten Term zweimal addieren: 2xz
3. Wir addieren das Quadrat des zweiten Termes: z².

Das Ergebnis ist: x²+ 2xz + z²

(x-z)²

1. Wir schreiben das Quadrat des ersten Termes: x².
2. Wir werden den ersten zum zweiten Term zweimal addieren: –2xz.
3. Wir addieren das Quadrat des zweiten Termes: z².

Das Ergebnis ist x²+ (- 2xz) + z² = x²–2xz + z²

Wie wir sehen können, ist die Operation der Multiplikation des ersten mit dem zweiten Term ein negatives Ergebnis, gleichbedeutend mit der direkten Subtraktion des Ergebnisses. Denken Sie daran, dass das Addieren einer negativen Zahl und das Verringern der Vorzeichen die Subtraktion der Zahl bedeuten.

Beispiele für quadrierte Binome:

 (4x³ - 2 und²)²

Das Quadrat des ersten Termes: (4x³)² = 16x⁶
Das Doppelprodukt des ersten und des zweiten: 2 [(4x³)(-2 und²)] = –16x³Ja²
Das Quadrat des zweiten Termes: (2y²)² = 4y⁴
(4x³ - 2 und²)² = 16x⁶ –16x³Ja²+ 4 Jahre⁴
(5.)³x⁴ - 3b⁶Ja²)² = 25a⁶x⁸ - 30³b⁶x⁴Ja²+ 9b¹²Ja⁴
(5.)³x⁴ + 3b⁶Ja²)² = 25a⁶x⁸ + 30a³b⁶x⁴Ja²+ 9b¹²Ja⁴
(- 5.³x⁴ - 3b⁶Ja²)² = 25a⁶x⁸ + 30a³b⁶x⁴Ja²+ 9b¹²Ja⁴
(- 5.³x⁴ + 3b⁶Ja²)² = 25a⁶x⁸ - 30³b⁶x⁴Ja²+ 9b¹²Ja⁴
(6mx + 4ny)² = 36m²nein² + 48mnxy + 16n²Ja²
(6mx - 4ny)² = 36m²nein² - 48mnxy + 16n²Ja²
(–6mx + 4ny)² = 36m²nein² - 48mnxy + 16n²Ja²
(–6mx - 4ny)² = 36m²nein² + 48mnxy + 16n²Ja²
(4vt - 2ab)² = 16v²t² - 16abvt + 4a²b²
(–4vt + 2ab)² = 16v²t² - 16abvt + 4a²b²
(–4vt - 2ab)² = 16v²t² + 16abvt + 4a²b²
(4vt + 2ab)² = 16v²t² + 16abvt + 4a²b²
(3x⁵ + 8)² = 9x¹⁰ + 48x⁵ + 64
(- 3x⁵ – 8)² = 9x¹⁰ + 48x⁵ + 64
(- 3x⁵ + 8)² = 9x¹⁰ - 48x⁵ + 64
(3x⁵ – 8)² = 9x¹⁰ - 48x⁵ + 64
(3.)³b - 3ab³)² = 9a⁶b² - 18⁴b⁴ + 9a²b⁶
(3.)³b + 3ab³)² = 9a⁶b² + 18a⁴b⁴ + 9a²b⁶
(- 3.³b - 3ab³)² = 9a⁶b² + 18a⁴b⁴ + 9a²b⁶
(–3a³b + 3ab³)² = 9a⁶b² - 18⁴b⁴ + 9a²b⁶
(2a - 3b²)² = 4a² + 12 Ab² + 9b⁴
(2a + 3b²)² = 4a² + 12 Ab² + 9b⁴
(–2a + 3b²)² = 4a² - 12 Ap² + 9b⁴
(2a - 3b²)² = 4a² - 12 Ap² + 9b⁴