Beispiel für konjugierte Binomiale

Auf Algebra, ein Binomial- ist ein Ausdruck mit zwei Begriffe, die eine andere Variable haben und durch ein positives oder negatives Vorzeichen getrennt sind. Beispielsweise: a + 2b. Bei einer Multiplikation von Binomialen ist eines der sogenannten Bemerkenswerte Produkte:

• Binomial im Quadrat: (a + b)², was dasselbe ist wie (a + b) * (a + b)
• Konjugierte Binome: (a + b) * (a - b)
• Binomiale mit gemeinsamem Begriff: (a + b) * (a + c)
• Binomial gewürfelt(a + b)³, was dasselbe ist wie (a + b) * (a + b) * (a + b)

Bei dieser Gelegenheit sprechen wir über konjugierte Binome. Dieses bemerkenswerte Produkt ist die Multiplikation zweier Binome:

• Im ersten hat der zweite Term ein positives Vorzeichen: (a + b)
• Im zweiten hat der zweite Term ein negatives Vorzeichen: (a-b)

Es genügt, dass die beiden Zeichen unterschiedlich sind. Egal in welcher Reihenfolge.

Regel der konjugierten Binomiale

Wenn sich zwei solcher Binome multiplizieren, eine Regel wird befolgt um diese Operation zu lösen:

• Quadrat der ersten: (a)² = a²
• minus dem Quadrat der Sekunde: - (b)² = - b²

zu² - b²

Diese sehr einfache Regel wird im Folgenden überprüft, indem die Binome auf traditionelle Weise Term für Term multipliziert werden:

(a + b) * (a - b)

• (a) * (a) = zu²
• (a) * (-b) = -ab
• (b) * (a) = + ab
• (b) * (-b) = -b²

Die Ergebnisse werden zusammengefügt und bilden den Ausdruck:

zu² - ab + ab - b²

Durch entgegengesetzte Vorzeichen heben sich (-ab) und (+ ab) gegenseitig auf und verlassen schließlich:

zu² - b²

Beispiele für konjugierte Binome

Beispiel 1.- (x + y) * (x - y) =x² - Ja²

• (x) * (x) = x²
• (x) * (-y) = -xy
• (y) * (x) = + xy
• (y) * (-y) = -Y²

Die Ergebnisse werden zusammengefügt und bilden den Ausdruck:

x² - xy + xy - y²

Durch entgegengesetzte Vorzeichen heben sich (-xy) und (+ xy) gegenseitig auf und verlassen schließlich:

x² - Ja²

Beispiel 2.- (a + c) * (a - c) =zu² - c²

• (a) * (a) = zu²
• (a) * (-c) = -ac
• (c) * (a) = + ac
• (c) * (-c) = -c²

Die Ergebnisse werden zusammengefügt und bilden den Ausdruck:

zu² - ac + ac - c²

Durch entgegengesetzte Vorzeichen heben sich (-ac) und (+ac) gegenseitig auf und sind schließlich:

zu² - c²

Beispiel 3.- (x² + und²) * (x² - Ja²) =x⁴ - Ja⁴

• (x²) * (x²) = x⁴
• (x²)*(-Y²) = -x²Ja²
• (Y²) * (x²) = + x²Ja²
• (Y²)*(-Y²) = -Y⁴

Die Ergebnisse werden zusammengefügt und bilden den Ausdruck:

x⁴ - x²Ja² + x²Ja² - Ja⁴

Durch entgegengesetzte Vorzeichen (-x²Ja²) und (+ x²Ja²) werden storniert und verlassen schließlich:

x⁴ - Ja⁴

Beispiel 4.- (4x + 8 Jahre)²) * (4x - 8y²) =16x² - 64 Jahre⁴

• (4x) * (4x) = 16x²
• (4x) * (- 8 Jahre)²) = -32xy²
• (8 Jahre)²) * (4x) = + 32xy²
• (8 Jahre)²) * (- 8 Jahre)²) = -64 Jahre⁴

Die Ergebnisse werden zusammengefügt und bilden den Ausdruck:

16x² - 32xy² + 32xy² - 64 Jahre⁴

Durch entgegengesetzte Vorzeichen heben sich (-xy) und (+ xy) gegenseitig auf und verlassen schließlich:

16x² - 64 Jahre⁴

Beispiel 5.- (x³ + 3a) * (x³ - 3a) =x⁶ - 9a²

• (x³) * (x³) = x⁶
• (x³) * (- 3a) = -3ax³
• (3a) * (x³) = + 3ax³
• (3.) * (- 3.) = -9a²

Die Ergebnisse werden zusammengefügt und bilden den Ausdruck:

x⁶ - 3ax³ + 3ax³ - 9a²

Durch entgegengesetzte Vorzeichen heben sich (-xy) und (+ xy) gegenseitig auf und verlassen schließlich:

x⁶ - 9a²

Beispiel 6.- (a + 2b) * (a - 2b) =zu² - 4b²

• (a) * (a) = zu²
• (a) * (- 2b) = -2ab
• (2b) * (a) = + 2ab
• (2b) * (- 2b) = -4b²

Die Ergebnisse werden zusammengefügt und bilden den Ausdruck:

zu² - 2ab + 2ab - 4b²

Durch gegensätzliche Vorzeichen heben sich (-2ab) und (+ 2ab) gegenseitig auf und verlassen schließlich:

zu² - 4b²

Beispiel 7.- (2c + 3d) * (2c - 3d) =4c² - 9d²

• (2c) * (2c) = 4c²
• (2c) * (- 3d) = -6cd
• (3d) * (2c) = + 6cd
• (3d) * (- 3d) = -9d²

Die Ergebnisse werden zusammengefügt und bilden den Ausdruck:

4c² - 6cd + + 6cd - 9d²

Durch entgegengesetzte Vorzeichen heben sich (-6cd) und (+ 6cd) gegenseitig auf und verlassen schließlich:

4c² - 9d²