Newtons Binomialbeispiel

Das Newtons Binomial, auch genannt "Binomialsatz " ist ein Logarithmus, der es uns ermöglicht, Potenzen von Binomialen zu erhalten.

Um die Binomialkraft zu erhalten, werden die Koeffizienten mit der Bezeichnung „Binomialkoeffizienten"Die aus Sequenzen von Kombinationen bestehen.

Beispiel 1, Allgemeine Formeln des Newtonschen Binomials:

(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a-b)² = a² –2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 to²b + 3 ab² + b³

Diese Formeln sind unter dem Namen bemerkenswerter Identitäten bekannt, wobei eine allgemeinere Formel erstellt wird, die der Entwicklung von (a + b) entspricht.^nein, wobei n eine beliebige natürliche ganze Zahl ist.

Diese Formel gilt für jedes Element zu Ja b eines Rings,

A (für Gesetze + Ja x) zu

Bedingung, dass die beiden Elemente zuJa b sei so, dass zu x b = b x zu:

(a + b)^nein = a^nein + C¹_nein zu^n-2 xb² + ...
+ C^p_nein  zu^n-p x b^p +… + C_pⁿ¹ + b^nein.

Das C^p_nein sind natürliche ganze Zahlen, sogenannte Binomialkoeffizienten (solche, die die Anzahl der Kombinationen von nein Gegenstände genommen p zu p; lässt sich dank des Pascalschen Dreiecks leicht berechnen).

Beispiel 2, aus Newtons Binomial:

Wir betrachten die Multiplikation:

z. z = z² wobei z ein beliebiger algebraischer Ausdruck sein kann:

Nehmen wir nun an, dass z = x + Ja, dann:

z. z = (x + y) = (x + y) aber (x + y)

was wie folgt berechnet werden kann:

x + y
x + y

Hier wird von links nach rechts multipliziert und das Ergebnis durch algebraische Addition erhalten:

x² + x y
+ xy + y²

x² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Wenn wir bedenken:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x+y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

Bei der Multiplikation erhalten wir:

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + und²

X³ + 3 x² y + 3 x y² + und³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + und³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

Und wenn wir die Multiplikation machen.

x³ + x² y + 3 x y² + und³

x + y_________________

x⁴ + 3 x³ y + 3 x² Ja² + x y³

+ x³ y + 3x2 y2 + 3xy³ + und⁴

x⁴ + 4x³und + 6x² y + 4xy³ + und⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³und + 6x² Ja² + 4xy³ + und⁴