Τι είναι η εξίσωση Dirac και πώς ορίζεται;

Ο Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) πρότεινε στα τέλη του 1928 μια από τις εξισώσεις με τη μεγαλύτερη σημασία και επιπτώσεις στη Φυσική της τρέχουσας εποχής, και αυτό γιατί ενοποιεί τις αρχές της κβαντικής μηχανικής με αυτές της σχετικότητα.

Προσφορά (APA)

Έβελιν Μέιτ Μάριν | Αύγ. 2022
Βιομηχανικός Μηχανικός, MSc στη Φυσική, και EdD

Αυτή η εξίσωση μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους, ο πιο συμπαγής και απλοποιημένος είναι αυτή που θεωρείται μια από τις πιο αισθητικές εξισώσεις στην επιστήμη:

\(\αριστερά( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \δεξιά) = 0\)

Οπου:
θ: φανταστική μονάδα
m: μάζα ηρεμίας του ηλεκτρονίου
ħ: Ανηγμένη σταθερά Planck
ντο: Ταχύτητα του φωτός
: τελεστής άθροισης μερικών παραγώγων
: μαθηματική κυματική συνάρτηση του ηλεκτρονίου

Η απόλυτη τιμή του τετραγώνου της κυματικής συνάρτησης αντιπροσωπεύει το πιθανότητα για να βρείτε το σωματίδιο σε μια συγκεκριμένη θέση, λαμβάνοντας υπόψη το Ενέργεια, ταχύτητα, μεταξύ άλλων παραμέτρων, καθώς και της εξέλιξη στον χρόνο. Με άλλα λόγια, η εξίσωση Paul Dirac χρησιμοποιεί πίνακες που δρουν σε διανύσματα και αντιπροσωπεύει μια εξέλιξη της εξίσωσης Schrödinger στη σχετικιστική κβαντική φυσική.

Η εξίσωση Dirac χρησιμοποιήθηκε αρχικά για να περιγράψει τη συμπεριφορά ενός ηλεκτρονίου χωρίς αλληλεπίδραση, αν και η εφαρμογή της εκτείνεται σε περιγραφή των υποατομικών σωματιδίων όταν ταξιδεύουν με ταχύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Ο Ντιράκ κατάφερε να εξηγήσει σε υποατομική κλίμακα τη διπλή συμπεριφορά του κύματος και του σωματιδίου που ήταν ήδη γνωστή εκείνη την εποχή, αφού εξέτασε τις ιδιότητες των σωματιδίων όπως η γωνιακή ορμή εσωτερικός ή περιστροφή.

Μια άλλη σημαντική συμβολή της εξίσωσης Dirac είναι η πρόβλεψη της αντιύλης, η ύπαρξη της οποίας αποδείχθηκε αργότερα (το 1932) από τον Carl D. Άντερσον χρησιμοποιώντας έναν θάλαμο σύννεφων με τον οποίο ταύτισε το ποζιτρόνιο. Εξηγεί επίσης σε μεγάλο βαθμό τη λεπτή δομή που προσδιορίζεται στις ατομικές φασματικές γραμμές.

Η εικόνα δείχνει τη διάσημη φωτογραφία που τραβήχτηκε κατά τη διάρκεια του συνεδρίου "Φωτόνια και Ηλεκτρόνια" το 1927, όπου απεικονίζονται μερικοί από τους πιο εξαιρετικούς επιστήμονες στην ιστορία. Στην ουράνια περιφέρεια βρίσκεται ο Paul Dirac.

Υπόβαθρο εξίσωσης Dirac

Προκειμένου να κατανοηθούν οι σκέψεις που έλαβε ο Dirac κατά την ανάπτυξη της εξίσωσής του, καθώς και το Βάσεις στις οποίες βασίστηκε η προσέγγισή του, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τις θεωρίες πριν από τη δική του μοντέλο.

Πρώτον, υπάρχει η περίφημη εξίσωση Schrödinger της κβαντικής μηχανικής, που δημοσιεύτηκε το 1925, η οποία μετατρέπει τις ποσότητες σε κβαντικούς τελεστές. Αυτή η εξίσωση χρησιμοποιεί την κυματική συνάρτηση (), παίρνοντας ως σημείο εκκίνησης την κλασική εξίσωση του ενέργεια E = p2/2m και ενσωματώνει τους κανόνες κβαντισμού τόσο για την ορμή (p) όσο και για την ενέργεια (ΚΑΙ):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \δεξιά)\)

Η μερική παράγωγος /t εκφράζει την εξέλιξη του συστήματος σε σχέση με το χρόνο. Ο πρώτος όρος μέσα στην αγκύλη αναφέρεται στο Κινητική ενέργεια (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), ενώ ο δεύτερος όρος σχετίζεται με το δυναμική ενέργεια.

Σημείωση: στη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν, οι μεταβλητές του χώρου και του χρόνου πρέπει να εισέρχονται εξίσου στο εξισώσεις, κάτι που δεν συμβαίνει στην εξίσωση Schrödinger, στην οποία ο χρόνος εμφανίζεται ως παράγωγος και η θέση ως δεύτερο παράγωγο.

Τώρα, για αιώνες, οι επιστήμονες προσπαθούν να βρουν ένα μοντέλο Φυσικής που να ενοποιεί τις διαφορετικές θεωρίες, και στην περίπτωση Η εξίσωση του Schrödinger λαμβάνει υπόψη τη μάζα (m) και το φορτίο του ηλεκτρονίου, αλλά δεν εξετάζει τα σχετικιστικά φαινόμενα που εκδηλώνονται σε υψηλές ταχύτητες. Για το λόγο αυτό, το 1926, οι επιστήμονες Oskar Klein και Walter Gordon πρότειναν μια εξίσωση που λαμβάνει υπόψη τις αρχές της σχετικότητας:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Το πρόβλημα με την εξίσωση Klein-Gordon είναι ότι βασίζεται στην εξίσωση του Einstein, στην οποία η ενέργεια είναι τετράγωνο, άρα αυτή η εξίσωση (Klein-Gordon) ενσωματώνει μια παράγωγο σε τετράγωνο σε σχέση με το χρόνο, και αυτό σημαίνει ότι έχει δύο λύσεις, επιτρέποντας αρνητικές τιμές του χρόνου, και αυτό δεν έχει νόημα φυσικός. Ομοίως, έχει την ταλαιπωρία να δημιουργεί τιμές πιθανότητας μικρότερες από το μηδέν ως λύσεις.

Προσπαθώντας να επιλύσει τις ασυνέπειες που υπονοούνται από αρνητικές λύσεις ορισμένων μεγεθών που δεν υποστηρίζουν αυτά τα αποτελέσματα, ο Paul Dirac ξεκίνησε από την εξίσωση Klein-Gordon για να γραμμικοποιήστε το, και σε αυτή τη διαδικασία, εισήγαγε δύο παραμέτρους με τη μορφή πινάκων της διάστασης 4, γνωστούς ως πίνακες Dirac ή επίσης Pauli, και οι οποίοι είναι μια αναπαράσταση της άλγεβρας του γνέθω. Αυτές οι παράμετροι συμβολίζονται ως  και ` (στην εξίσωση ενέργειας, αντιπροσωπεύονται ως E = pc + mc2):

Με αυτό που είναι ισότητα πληρούται, η προϋπόθεση είναι ότι ´2 = m2c4

Γενικά, οι κανόνες κβαντοποίησης οδηγούν σε πράξεις με παράγωγα που ισχύουν για βαθμωτές κυματοσυναρτήσεις, ωστόσο, όπως το Οι παράμετροι α και β είναι πίνακες 4x4, οι διαφορικοί τελεστές παρεμβαίνουν σε ένα τετραδιάστατο διάνυσμα (), γνωστό ως σπινόρ.

Η εξίσωση Dirac λύνει το πρόβλημα αρνητικής ενέργειας που παρουσιάζεται από την εξίσωση Klein-Gordon, αλλά εξακολουθεί να εμφανίζεται μια λύση αρνητικής ενέργειας. δηλαδή σωματίδια με ιδιότητες παρόμοιες με αυτές του άλλου διαλύματος αλλά με αντίθετο φορτίο, ο Dirac το ονόμασε αυτό αντισωματίδια. Επιπλέον, με την εξίσωση Dirac, φαίνεται ότι το σπιν είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής σχετικιστικών ιδιοτήτων στον κβαντικό κόσμο.