Ορισμός Τετραγωνικής Συνάρτησης

Μια τετραγωνική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής της οποίας η μορφή εκφράζεται.

\(f\αριστερά( x \δεξιά) = a{x^2} + bx + c\)

Όπου η μεταβλητή είναι \(x\), \(a, b\) και c είναι πραγματικές σταθερές, που ονομάζονται συντελεστές της τετραγωνικής συνάρτησης με \(a \ne 0.\)

Ο πίνακας παρουσιάζει γενικά παραδείγματα τετραγωνικών συναρτήσεων και την κατάσταση που μπορούν να μοντελοποιήσουν, για να απεικονίσει αργότερα την άμεση εφαρμογή τους από πραγματικά προβλήματα.

Τετραγωνική λειτουργία	Κατάσταση που μπορείτε να μοντελοποιήσετε
\(f\αριστερά( x \δεξιά) = {x^2}\)	Η μεταβλητή \(y\) είναι το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου η πλευρά είναι \(x\).
\(f\αριστερά( x \δεξιά) = \pi {x^2}\)	Η μεταβλητή \(y\) είναι η περιοχή ενός κύκλου του οποίου η ακτίνα είναι \(x\).
\(f\αριστερά( x \δεξιά) = 100 – 4,9{x^2}\)	Η μεταβλητή \(y\) είναι το ύψος ενός αντικειμένου που έπεσε σε ύψος 100 και \(x\) είναι ο χρόνος που έχει παρέλθει.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Η μεταβλητή \(y\) είναι το ύψος μιας βολίδας που ρίχνεται υπό γωνία 45° με ταχύτητα 60 m/s και \(x\) είναι ο χρόνος που έχει παρέλθει.

Ο γενικός τύπος και η τετραγωνική συνάρτηση

Αν για \(x = \άλφα \) η τετραγωνική συνάρτηση είναι μηδέν, τότε ο αριθμός \(\άλφα \) ονομάζεται ρίζα της τετραγωνικής συνάρτησης, ναι, \(\άλφα \) είναι η λύση της τετραγωνικής εξίσωσης

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Ο γενικός τύπος για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων έχουμε ότι οι ρίζες μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Από τα παραπάνω προκύπτει η ακόλουθη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών της τετραγωνικής συνάρτησης:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Μέσα από αξιόλογα προϊόντα καθιερώνεται η ακόλουθη ταυτότητα:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Με παρόμοιο τρόπο με αυτόν που καθορίζεται στον γενικό τύπο, καθορίζεται ότι η τετραγωνική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

Με \(h = – \frac{b}{{2a}}\) και \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Λύνοντας την εξίσωση:

\(a{\αριστερά( {x – h} \δεξιά)^2} + k = 0\)

Λαμβάνεται:

\(\αριστερά| {x – h} \δεξιά| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Από τα παραπάνω συνάγεται το συμπέρασμα ότι \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), μόνο εάν οι σταθερές \(k\) και \(a\) είναι από αντίθετα πρόσημα, αυτή η τετραγωνική συνάρτηση έχει πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Αν οι σταθερές \(k\) και \(a\) έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε η τετραγωνική συνάρτηση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Όταν \(k = 0,\;\;\)η τετραγωνική συνάρτηση έχει μόνο μία ρίζα.

Παραδείγματα που εφαρμόζονται στην πραγματική ζωή

Παράδειγμα εφαρμογής 1: Οικονομικά

Ένα σχολείο θέλει να διοργανώσει ένα τουρνουά ποδοσφαίρου όπου κάθε ομάδα παίζει με κάθε μία από τις άλλες ομάδες μόνο μία φορά. Υπάρχει προϋπολογισμός 15.600 $ για το κόστος της διαιτησίας, εάν το κόστος της διαιτησίας είναι 200 ​​$ ανά παιχνίδι. Πόσες ομάδες μπορούν να εγγραφούν στο τουρνουά;

Δήλωση προβλήματος: Πρέπει να βρούμε μια συνάρτηση που να υπολογίζει τον αριθμό των αντιστοιχιών όταν έχουμε \(n\) ομάδες για να τις μετρήσουμε θα κάνουμε την υπόθεση ότι η ομάδα 1 παίζει πρώτη με όλες τις άλλες, δηλαδή \(n – 1\) σπίρτα. Η ομάδα 2 θα έπαιζε τώρα με όλες τις υπόλοιπες, δηλαδή με \(n – 2\), αφού θα έχει ήδη παίξει με την ομάδα 1. Η ομάδα 3 θα έχει ήδη παίξει με τις ομάδες 1 και 2, επομένως θα πρέπει να παίξει με n-3 ομάδες.

Με το παραπάνω σκεπτικό καταλήγουμε:

\(f\αριστερά( n \δεξιά) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left(n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Η συνάρτηση κόστους είναι:

\(C\αριστερά( n \δεξιά) = 200f\αριστερά( n \δεξιά) = 100n\αριστερά( {n – 1} \δεξιά)\)

Έχοντας προϋπολογισμό 15.600 $, έχουμε την εξίσωση:

\(100n\αριστερά( {n – 1} \δεξιά) = 15600\)

λύση της εξίσωσης

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Αρχική κατάσταση
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Διαιρέστε κάθε πλευρά της εξίσωσης με το 100
\({n^2} – n – 156 = \) Προσθέστε το \( – 156\) σε κάθε πλευρά της εξίσωσης
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Έχουμε \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) και \( – 13 + 12 = – 1\)
Συνυπολογίστηκε.
Λύσεις της εξίσωσης \(n = – 12,\;13\)
Απάντηση: Το μπάτζετ είναι αρκετό για να δηλώσουν συμμετοχή 13 ομάδες.

Παράδειγμα εφαρμογής 2: Οικονομικά

Μια μητροπολιτική εταιρεία λεωφορείων μεταφορών παρατήρησε ότι, σε μια οκτάωρη ημέρα, κάθε λεωφορείο της μεταφέρει κατά μέσο όρο χίλιους επιβάτες. Για να είστε σε θέση να δώσετε στους εργαζομένους σας αύξηση, θα χρειαστεί να αυξήσετε τον ναύλο σας, ο οποίος είναι επί του παρόντος 5 $. Ένας οικονομολόγος υπολογίζει ότι, για κάθε πέσο που αυξάνεται ο ναύλος, κάθε φορτηγό θα χάνει κατά μέσο όρο 40 επιβάτες κάθε μέρα. Η εταιρεία έχει υπολογίσει ότι, για να καλύψει την αύξηση μισθού, πρέπει να λαμβάνει επιπλέον 760 $ ανά φορτηγό κάθε μέρα. Πόσο πρέπει να αυξηθεί ο ναύλος;

Δήλωση του προβλήματος: Έστω \(x\) το ποσό των πέσος στο οποίο θα αυξηθεί το εισιτήριο, για το οποίο \(5 + x\) είναι το νέο κόστος του εισιτηρίου. Με την ίδια αύξηση, κάθε φορτηγό θα μεταφέρει \(1000 – 40x\) επιβάτες την ημέρα, κατά μέσο όρο.

Τέλος, τα έσοδα ανά φορτηγό είναι:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \δεξιά)\)

Για να καλυφθεί η αύξηση μισθού, κάθε λεωφορείο πρέπει να εισπράξει: \(1000\αριστερά( 5 \δεξιά) + 760 = 5760\)

Τελικά έχουμε την εξίσωση:

\( – 40\αριστερά( {x + 5} \δεξιά)\αριστερά( {x – 25} \δεξιά) = 5760\)

λύση της εξίσωσης
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Αρχική κατάσταση
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Διαιρέστε με \( – 40\) κάθε πλευρά της εξίσωσης
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Το αξιόλογο προϊόν αναπτύχθηκε
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 προστέθηκαν σε κάθε
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Έχουμε \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ δεξιά) = 19\) και \( – 19 – 1 = – 20\)
παράγοντας
Λύσεις της εξίσωσης \(n = 1,19\)
Απάντηση: Η τιμή του εισιτηρίου μπορεί να ανέβει $1 ή $19 πέσος.

Παράδειγμα εφαρμογής 3: Οικονομικά

Ένα κατάστημα ψωμιού πουλάει κατά μέσο όρο 1.200 ψωμάκια την εβδομάδα για 6 $ το καθένα. Μια μέρα αποφάσισε να αυξήσει την τιμή στα 9 $ το τεμάχιο. τώρα οι πωλήσεις της έχουν μειωθεί: πουλάει κατά μέσο όρο μόνο 750 ρολά την εβδομάδα. Ποια πρέπει να είναι η τιμή κάθε κουλούρι ώστε τα έσοδα του outlet να είναι όσο το δυνατόν υψηλότερα; Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια γραμμική σχέση μεταξύ ζήτησης και τιμής.

Δήλωση προβλήματος: Υποθέτοντας ότι υπάρχει μια γραμμική σχέση μεταξύ της ζήτησης D και της τιμής \(x,\) τότε

\(D = mx + b\)

Όταν \(x = 6;D = 1200;\;\) που δημιουργεί την εξίσωση:

\(1200 = 6m + b\)

Όταν \(x = 9;D = 750;\;\) και προκύπτει η εξίσωση:

\(750 = 9m + b\)

Λύνοντας το σύστημα εξισώσεων, η σχέση ζήτησης και τιμής είναι:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\αριστερά( {x – 14} \δεξιά)\)

Το εισόδημα είναι ίσο με

\(I\αριστερά( x \δεξιά) = Dx = – 150x\αριστερά( {x – 14} \δεξιά)\)

Λύση

Το γράφημα του εισοδήματος σε μια παραβολή που ανοίγει προς τα κάτω και η μέγιστη τιμή του επιτυγχάνεται στην κορυφή on που μπορεί να βρεθεί με τον μέσο όρο των ριζών της τετραγωνικής συνάρτησης που μοντελοποιεί το εισόδημα. Οι ρίζες είναι \(\άλφα = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\αριστερά( h \δεξιά) = – 150\αριστερά( 7 \δεξιά)\αριστερά( {7 – 14} \δεξιά) = 7350\)

Απάντηση

Τα μέγιστα έσοδα είναι 7.350 $ και επιτυγχάνονται με τιμή 7 $. πουλώντας, κατά μέσο όρο, 1050 ρολά την εβδομάδα.

Παράδειγμα εφαρμογής 4: Οικονομικά

Το κόστος κατασκευής \(n\) καρεκλών σε μία ημέρα μπορεί να υπολογιστεί με την τετραγωνική συνάρτηση:

\(C\left(n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

Προσδιορίστε το ελάχιστο κόστος που μπορεί να επιτευχθεί.

Δήλωση προβλήματος

Το γράφημα του \(C\left(n \right)\) είναι μια παραβολή που ανοίγει προς τα πάνω και θα φτάσει στο ελάχιστο σημείο της στο \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ αριστερά( { – 200} \δεξιά)}}{{2\αριστερά( 1 \δεξιά)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Απάντηση

Το χαμηλότερο δυνατό κόστος ισούται με 3000$ και επιτυγχάνεται με την κατασκευή 100 καρεκλών.

Παράδειγμα εφαρμογής 5: Γεωμετρία

Ένας ρόμβος έχει εμβαδόν 21 cm2. Αν το άθροισμα των μηκών των διαγωνίων του είναι 17 cm, ποιο είναι το μήκος κάθε διαγωνίου του ρόμβου;

Δήλωση προβλήματος: Το εμβαδόν ενός ρόμβου υπολογίζεται με:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Με τα \(D\) και \(d\) τα μήκη των διαγωνίων του, είναι επίσης γνωστό:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Αντικαθιστώντας λαμβάνετε:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Τελικά παίρνουμε την εξίσωση

\(\frac{{\αριστερά( {17 – d} \δεξιά) d}}{2} = 21\)

Λύση
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Αρχική κατάσταση
\(\αριστερά( {17 – d} \δεξιά) d = 42\) Πολλαπλασιάστε με \( – 40\) κάθε πλευρά της εξίσωσης
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Το προϊόν αναπτύχθηκε.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Έχουμε \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ δεξιά) = 42\) και \( – 14 – 3 = – 17\)
παράγοντας
Λύσεις της εξίσωσης \(d = 3,14\)
Απάντηση:

Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι 14 cm και 3 cm.

Παράδειγμα εφαρμογής 6: Γεωμετρία

Επιθυμείται η κατασκευή ενός ορθογώνιου κοτέτσι 140 m2, εκμεταλλευόμενος έναν αρκετά μεγάλο φράχτη που θα σχηματίσει τον πυθμένα του κοτέτσι. Οι άλλες τρεις πλευρές θα κατασκευαστούν με 34 γραμμικά μέτρα συρμάτινο πλέγμα, πόσο πρέπει να είναι το μήκος και το πλάτος του κοτέτσι για να χρησιμοποιηθεί το συνολικό πλέγμα;

Υπό τις ίδιες συνθήκες, ποια είναι η μέγιστη επιφάνεια που μπορεί να περιφραχθεί με το ίδιο πλέγμα;

Δήλωση προβλήματος: Σύμφωνα με το διάγραμμα, το εμβαδόν ισούται με:

\(A\αριστερά( x \δεξιά) = x\αριστερά( {34 – 2x} \δεξιά) = 2x\αριστερά( {17 – x} \δεξιά)\)

Όπου \(x\) είναι το μήκος της κάθετης πλευράς στον φράχτη.

Για να γνωρίζετε τις μετρήσεις του ορθογωνίου ώστε να έχει εμβαδόν 140 m2, αρκεί να λύσετε την εξίσωση

\(2x\αριστερά( {17 – x} \δεξιά) = 140\)

Εφόσον το γράφημα του \(A\left( x \right)\) είναι μια παραβολή που ανοίγει προς τα κάτω για να υπολογίσει τη μέγιστη τιμή του εμβαδού, αρκεί να υπολογίσουμε την κορυφή της παραβολής.

Απαντήσεις
Μέτρα ορθογωνίου εμβαδού 140 m2
Μήκος της κάθετης προς τον φράκτη πλευράς

\(x\) Μήκος πλευράς παράλληλης προς τον φράχτη

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Η πρώτη συντεταγμένη της κορυφής είναι \(h = \frac{{17}}{2}\) και

\(A\αριστερά( h \δεξιά) = \frac{{289}}{2}\)

Το εμβαδόν είναι μέγιστο όταν η κάθετη πλευρά έχει μέγεθος \(\frac{{17}}{2}\;\)m και η παράλληλη πλευρά είναι 17m, έχει μέγεθος 17m, η τιμή της μέγιστης επιφάνειας που επιτυγχάνεται είναι \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης

Από γεωμετρική άποψη, οι ρίζες είναι τα σημεία όπου η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα \(x\).

Από την έκφραση

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Θα καθορίσουμε τη γενική μορφή της γραφικής παράστασης μιας τετραγωνικής συνάρτησης.

Πρώτη περίπτωση \(a > 0\) και \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(Χ\)	\(f\αριστερά( x \δεξιά)\)
\(ω – 1\)	\(a + k\)
\(ω – 2\)	\(4a + k\)
\(ω – 3\)	\(9a + k\)
\(ω – 4\)	\(16a + k\)
\(η\)	\(κ\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Σε αυτή την περίπτωση το γράφημα ικανοποιεί:

Συμμετρικό: Με άξονα συμμετρίας \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Δηλαδή \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \δεξιά)\)

Είναι πάνω από τον άξονα \(x\) και δεν τον τέμνει. Δηλαδή, το \(f\left( x \right) > 0\) δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Το χαμηλότερο σημείο του γραφήματος βρίσκεται στο σημείο \(\αριστερά( {h, k} \δεξιά)\). Δηλαδή \(f\left( x \right) \ge f\left(h \right) = k\)

Δεύτερη περίπτωση \(a < 0\) και \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(Χ\)	\(f\αριστερά( x \δεξιά)\)
\(ω – 1\)	\(a + k\)
\(ω – 2\)	\(4a + k\)
\(ω – 3\)	\(9a + k\)
\(ω – 4\)	\(16a + k\)
\(η\)	\(κ\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Σε αυτή την περίπτωση το γράφημα ικανοποιεί:

Συμμετρικό: Με άξονα συμμετρίας \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Δηλαδή \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \δεξιά)\)

Είναι κάτω από τον άξονα \(x\) και δεν τον τέμνει. Δηλαδή, το \(f\left( x \right) < 0\) δεν έχει πραγματικές ρίζες. Το υψηλότερο σημείο στο γράφημα βρίσκεται στο σημείο \(\αριστερά( {h, k} \δεξιά)\). Δηλαδή \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Τρίτη περίπτωση \(a > 0\) και \(k \le 0\).

Αυτή η περίπτωση είναι παρόμοια με την πρώτη περίπτωση, η διαφορά είναι ότι τώρα έχουμε μία πραγματική ρίζα (όταν \(k = 0\) ) ή δύο πραγματικές ρίζες.

Σε αυτή την περίπτωση το γράφημα ικανοποιεί:

Συμμετρικό: Με άξονα συμμετρίας \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Δηλαδή \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \δεξιά)\)

Τέμνει τον άξονα \(x\), δηλαδή έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

Το χαμηλότερο σημείο του γραφήματος βρίσκεται στο σημείο \(\αριστερά( {h, k} \δεξιά)\). Δηλαδή \(f\left( x \right) \ge f\left(h \right) = k\)

Τέταρτη περίπτωση \(a < 0\) και \(k \ge 0\). Αυτή η περίπτωση είναι παρόμοια με τη δεύτερη περίπτωση, η διαφορά είναι ότι τώρα έχουμε μια πραγματική ρίζα (όταν \(k = 0\) ) ή δύο πραγματικές ρίζες. Σε αυτή την περίπτωση το γράφημα ικανοποιεί:

Συμμετρικό: Με άξονα συμμετρίας \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Δηλαδή \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \δεξιά)\)

Το χαμηλότερο σημείο του γραφήματος βρίσκεται στο σημείο \(\αριστερά( {h, k} \δεξιά)\). Δηλαδή \(f\left( x \right) \le f\left(h \right) = k\)

Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης ονομάζεται παραβολή και τα στοιχεία της προς επισήμανση είναι ο άξονας συμμετρίας, τα σημεία όπου τέμνεται στον άξονα \(x\) και στην κορυφή, που είναι το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης όπου φτάνει στο χαμηλότερο ή υψηλότερο σημείο ανάλογα με το υπόθεση.

Με βάση την ανάλυση που έγινε μπορούμε να αναφέρουμε:

Η παραβολή που σχετίζεται με την τετραγωνική συνάρτηση \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) έχει την κορυφή της στο \(\left( {h, k} \right)\) όπου :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\αριστερά( h \δεξιά)\)

παραδείγματα

Τετραγωνική συνάρτηση \(y = {x^2}\)	σημαντικά στοιχεία
Κορυφή της παραβολής	\(\αριστερά( {0,0} \δεξιά)\)
Άξονας συμμετρίας της παραβολής	\(x = 0\)
Τέμνες με τον άξονα \(x\).	\(\αριστερά( {0,0} \δεξιά)\)

Τετραγωνική συνάρτηση \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	σημαντικά στοιχεία
Κορυφή της παραβολής	\(\αριστερά( {2,0} \δεξιά)\)
Άξονας συμμετρίας της παραβολής	\(x = 2\)
Τέμνες με τον άξονα \(x\).	\(\αριστερά( {2,0} \δεξιά)\)

Τετραγωνική συνάρτηση \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	σημαντικά στοιχεία
Κορυφή της παραβολής	\(\αριστερά( { – 2, – 4} \δεξιά)\)
Άξονας συμμετρίας της παραβολής	\(x = – 2\)
Τέμνες με τον άξονα \(x\).	\(\αριστερά( { – 4,0} \δεξιά);\αριστερά( {0,0} \δεξιά)\)

Τετραγωνική συνάρτηση \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	σημαντικά στοιχεία
Κορυφή της παραβολής	\(\αριστερά( {9,8} \δεξιά)\)
Άξονας συμμετρίας της παραβολής	\(x = 9\)
Τέμνες με τον άξονα \(x\).	\(\αριστερά( {5,0} \δεξιά);\αριστερά( {13,0} \δεξιά)\)

Τετραγωνική συνάρτηση \(y = {x^2} + 1\)	σημαντικά στοιχεία
Κορυφή της παραβολής	\(\αριστερά( {0,1} \δεξιά)\)
Άξονας συμμετρίας της παραβολής	\(x = 0\)
Τέμνες με τον άξονα \(x\).	Δεν έχει

Τετραγωνική συνάρτηση \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	σημαντικά στοιχεία
Κορυφή της παραβολής	\(\αριστερά( {2, – 1} \δεξιά)\)
Άξονας συμμετρίας της παραβολής	\(x = 2\)
Τέμνες με τον άξονα \(x\).	Δεν έχει

Εάν υπάρχουν οι πραγματικές ρίζες μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορούμε να σχηματίσουμε τη σχετική παραβολή από αυτές. Ας υποθέσουμε ότι \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Για αυτό πρέπει να ληφθούν υπόψη τα εξής:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Οπως και

\(k = f\αριστερά( h \δεξιά)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \δεξιά)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \δεξιά)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

παραδείγματα

Σκιαγράφησε το γράφημα της τετραγωνικής συνάρτησης \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Λύση

Οι ρίζες είναι \(\alpha = 3\;\) και \(\beta = – 6\); τότε \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Μπορούμε λοιπόν να φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα

\(f\αριστερά( x \δεξιά) = 2\αριστερά( {x – 3} \δεξιά)\αριστερά( {x + 6} \δεξιά)\)	σημαντικά στοιχεία
Κορυφή της παραβολής	\(\αριστερά( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \δεξιά)\)
Άξονας συμμετρίας της παραβολής	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Τέμνες με τον άξονα \(x\).	\(\αριστερά( { – 6,0} \δεξιά)\;,\;\αριστερά( {3,0} \δεξιά)\)

Για να σχεδιάσετε το γράφημα της συνάρτησης:

\(f\αριστερά( x \δεξιά) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις ίδιες ιδέες που έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει. Για αυτό θα προσδιορίσουμε πρώτα την κορυφή.

Σε αυτήν την περίπτωση, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Εφόσον \(a > 0\), η παραβολή "θα ανοίξει και \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το \(k:\)

\(k = f\αριστερά( h \δεξιά) = f\αριστερά( 3 \δεξιά) = 3{\αριστερά( 3 \δεξιά)^2} – 18\αριστερά( 3 \δεξιά) + 4 = – 23\)

Η κορυφή της παραβολής είναι στο \(\left( {3, – 23} \right)\) και εφόσον ανοίγει προς τα πάνω, τότε η παραβολή θα τέμνει τον άξονα \(x\;\) και ο άξονας συμμετρίας της είναι \ (x = 3\).

Ας εξετάσουμε τώρα την τετραγωνική συνάρτηση

\(f\αριστερά( x \δεξιά) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

Σε αυτήν την περίπτωση, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Αφού \(a < 0\), η παραβολή θα "ανοίξει" προς τα κάτω και \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \δεξιά)\αριστερά( { - 5} \δεξιά)}}} \δεξιά) = 1.\) Α Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ δεξιά) - 9 = - 4\) Η κορυφή του η παραβολή βρίσκεται στο \(\αριστερά( {1, - 4} \δεξιά)\) και εφόσον ανοίγει προς τα κάτω, τότε η παραβολή δεν θα τέμνει τον άξονα \(x\;\) και ο άξονας συμμετρίας της είναι \(x = 1.\)