Τετραγωνική/Quartic Εξίσωση Ορισμός

Μια εξίσωση δεύτερου βαθμού ή, ελλείψει αυτού, μια δευτεροβάθμια, σε σχέση με έναν άγνωστο, εκφράζεται με τη μορφή:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Όπου ο άγνωστος είναι \(x\), εφόσον \(a, b\) και c είναι πραγματικές σταθερές, με \(a \ne 0.\)

Υπάρχουν διάφορες τεχνικές για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένης της παραγοντοποίησης, στην οποία περίπτωση πρέπει να λάβουμε υπόψη την ακόλουθη ιδιότητα σύμφωνα με την ανάλυση:

Αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι μηδέν, τότε υπάρχουν δύο πιθανότητες:

1. Και τα δύο είναι ίσα με μηδέν.
2. Αν το ένα είναι μη μηδενικό τότε το άλλο είναι μηδέν

Τα παραπάνω μπορούν να εκφραστούν ως εξής:
Αν \(pq = 0\) τότε \(p = 0\) ή \(q = 0\).

Πρακτικό παράδειγμα 1: λύστε την εξίσωση \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Αρχική κατάσταση
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Προσθέστε 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης για να λύσετε το \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Η τετραγωνική ρίζα λαμβάνεται αναζητώντας την απομόνωση \(x.\) 8 συνυπολογίζεται και εφαρμόζονται οι ιδιότητες των ριζών και των δυνάμεων.
\(\αριστερά| x \δεξιά| = 2\sqrt 2 \)	Παίρνετε τη ρίζα του \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Οι λύσεις του \({x^2} – 8\)=0 είναι:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Πρακτικό παράδειγμα 2: Λύστε την εξίσωση \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Αρχική κατάσταση
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Η τετραγωνική ρίζα του 144 είναι 12. Εντοπίζεται διαφορά τετραγώνων.
\(\αριστερά( {x + 12} \δεξιά)\αριστερά( {x – 12} \δεξιά) = 0\)	Η διαφορά των τετραγώνων συνυπολογίζεται
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Θεωρούμε την πιθανότητα ο παράγοντας \(x + 12\) να είναι ίσος με 0. Η εξίσωση που προκύπτει λύνεται.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Θεωρούμε την πιθανότητα ο παράγοντας \(x – 12\) να είναι ίσος με 0. Η εξίσωση που προκύπτει λύνεται.

Οι λύσεις της εξίσωσης \({x^2} – 144 = 0\) είναι

\(x = – 12,\;12\)

Πρακτικό παράδειγμα 3: λύστε την εξίσωση \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Αρχική κατάσταση
\(x\αριστερά( {x + 3} \δεξιά) = 0\)	Το \(x\) προσδιορίζεται ως κοινός παράγοντας και πραγματοποιείται η παραγοντοποίηση.
\(x = 0\)	Εξετάστε την πιθανότητα ο παράγοντας \(x\) να είναι ίσος με 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Θεωρούμε την πιθανότητα ο παράγοντας \(x – 12\) να είναι ίσος με 0. Η εξίσωση που προκύπτει λύνεται.

Οι λύσεις της εξίσωσης \({x^2} + 3x = 0\), είναι:
\(x = – 3,0\)

Πρακτικό παράδειγμα 4: Λύστε την εξίσωση \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Αρχική κατάσταση
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Η τετραγωνική ρίζα του 49 είναι 7 και \(2x\αριστερά( 7 \δεξιά) = 14x.\) Εντοπίζεται ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο.
\({\αριστερά( {x – 7} \δεξιά)^2} = 0\)	Το τέλειο τετράγωνο τριώνυμο εκφράζεται ως τετράγωνο διώνυμο.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Η λύση του \({x^2} – 14x + 49 = 0\) είναι:
\(x = 7\)

Πρακτικό παράδειγμα 5: Λύστε την εξίσωση \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Αρχική κατάσταση
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Το γινόμενο \(\αριστερά( {10} \δεξιά)\αριστερά( {12} \δεξιά) = 120 = \αριστερά( { – 8} \δεξιά)\αριστερά( { – 15} \δεξιά)\)
\(\αριστερά( {10{x^2} – 8x} \δεξιά) – 15x + 12 = 0\)	Εκφράζεται ως \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\αριστερά( {5x – 4} \δεξιά) – 3\αριστερά( {5x – 4} \δεξιά) = 0\)	Προσδιορίστε το \(2x\) ως κοινό παράγοντα στην πρώτη προσθήκη και παραγοντίστε το. Προσδιορίστε το \( – 3\) ως κοινό παράγοντα στη δεύτερη προσθήκη και παραγοντίστε το.
\(\αριστερά( {5x – 4} \δεξιά)\αριστερά( {2x – 3} \δεξιά) = 0\)	Συντελεστής ο κοινός παράγοντας \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Θεωρούμε την πιθανότητα ο παράγοντας \(5x – 12\) να είναι ίσος με 0. Η εξίσωση που προκύπτει λύνεται.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Εξετάστε την πιθανότητα ο συντελεστής \(2x – 3\) να είναι ίσος με 0. Η εξίσωση που προκύπτει λύνεται.

Οι λύσεις του \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) είναι:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Πρακτικό παράδειγμα 6: Λύστε την εξίσωση \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Αρχική κατάσταση Το τριώνυμο δεν είναι τέλειο τετράγωνο
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Προσθέστε -1 σε κάθε πλευρά της εξίσωσης.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Εφόσον \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) προσθέτοντας \({2^2}\), έχουμε ένα τέλειο τετράγωνο.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Προσθέστε το \({2^2}\;\) σε κάθε πλευρά της εξίσωσης. Η αριστερή πλευρά είναι ένα τέλειο τετράγωνο.
\({\αριστερά( {x + 2} \δεξιά)^2} = 3\)	Το τέλειο τετράγωνο τριώνυμο εκφράζεται ως τετράγωνο διώνυμο.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Πάρτε την τετραγωνική ρίζα κάθε πλευράς της εξίσωσης
\(\αριστερά| {x + 2} \δεξιά| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Λύστε για \(x\).

Οι λύσεις του \({x^2} + 4x + 1 = 0\) είναι:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Πρακτικό παράδειγμα 7: Λύστε την εξίσωση \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Αρχική κατάσταση Το τριώνυμο δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Προσθέστε 1 σε κάθε πλευρά της εξίσωσης
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Πολλαπλασιάστε με κάθε πλευρά της εξίσωσης έτσι ώστε ο συντελεστής \({x^2}\) να ισούται με 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	διανέμεται το προϊόν Αφού \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), προσθέτοντας \({\left( { Το \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) δίνει ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης για να λύσετε για \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Το τέλειο τετράγωνο τριώνυμο εκφράζεται ως κυβικό διώνυμο.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Πάρτε την τετραγωνική ρίζα κάθε πλευράς της εξίσωσης
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Λύστε για \(x\).

Οι λύσεις του \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) είναι:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Η διαδικασία που χρησιμοποιείται στην παραπάνω εξίσωση θα χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί αυτό που ονομάζεται γενικός τύπος για τετραγωνικές λύσεις.

Γενικός Τύπος Εξίσωσης Δεύτερου Βαθμού.

Γενικός τύπος τετραγωνικών εξισώσεων

Σε αυτή την ενότητα θα βρούμε πώς να λύσουμε, με γενικό τρόπο, μια εξίσωση του τετραγώνου

Με \(a \ne 0\) ας θεωρήσουμε την εξίσωση \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \δεξιά) = 0\)

Εφόσον \(a \ne 0\) αρκεί να λύσουμε:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Αρχική κατάσταση
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Προσθέστε \( – \frac{c}{a}\) σε κάθε πλευρά της εξίσωσης.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Αφού \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), προσθέτοντας \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) δίνει ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Το τέλειο τετράγωνο τριώνυμο εκφράζεται ως τετράγωνο διώνυμο. Το αλγεβρικό κλάσμα γίνεται.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}γ}}{{4{a^2}}}} \)	Πάρτε την τετραγωνική ρίζα κάθε πλευράς της εξίσωσης.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Ισχύουν ριζικές ιδιότητες.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Ισχύουν ιδιότητες απόλυτης αξίας.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Σε κάθε πλευρά της εξίσωσης προσθέστε \( – \frac{b}{{2a}}\) για να λύσετε το \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Το αλγεβρικό κλάσμα γίνεται.

Ο όρος \({b^2} – 4{a^2}c\) ονομάζεται διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Όταν η διάκριση της παραπάνω εξίσωσης είναι αρνητική, οι λύσεις είναι μιγαδικοί αριθμοί και δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις. Οι σύνθετες λύσεις δεν θα καλύπτονται σε αυτή τη σημείωση.

Δίνεται η τετραγωνική εξίσωση \(a{x^2} + bx + c = 0\), εάν \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Τότε οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Η έκφραση:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Ονομάζεται γενικός τύπος της τετραγωνικής εξίσωσης.

Πρακτικό παράδειγμα 8: λύστε την εξίσωση \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(προς την\)	\(σι\)	\(ντο\)	Οξυδερκής	πραγματικές λύσεις
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\αριστερά( 3 \δεξιά)\αριστερά( { – 5} \δεξιά) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} {6}\)

Οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
\(\άλφα = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Πρακτικό παράδειγμα 9: Λύστε την εξίσωση \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(προς την\)	\(σι\)	\(ντο\)	Οξυδερκής	πραγματικές λύσεις
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\αριστερά( { – 4} \δεξιά)\αριστερά( 9 \δεξιά) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\αριστερά( {17} \δεξιά)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Πρακτικό παράδειγμα 10: Λύστε την εξίσωση \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(προς την\)	\(σι\)	\(ντο\)	Οξυδερκής	πραγματικές λύσεις
\(5\)	-4	\(1\)	\({\αριστερά( { – 4} \δεξιά)^2} – 4\αριστερά( 5 \δεξιά)\αριστερά( 1 \δεξιά) = 16 – 20 = – 4\)	Δεν έχει

Διάφορες Εξισώσεις

Υπάρχουν μη τετραγωνικές εξισώσεις που μπορούν να μετατραπούν σε δευτεροβάθμια εξίσωση.Θα δούμε δύο περιπτώσεις.

Πρακτικό παράδειγμα 11: Εύρεση των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Κάνοντας την αλλαγή της μεταβλητής \(y = \sqrt x \), η προηγούμενη εξίσωση παραμένει ως εξής:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\αριστερά( {2y + 5} \δεξιά) – \αριστερά( {2y + 5} \δεξιά) = 0\)

\(\αριστερά( {2y + 5} \δεξιά)\αριστερά( {3y – 1} \δεξιά) = 0\)

Επομένως \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Εφόσον το \(\sqrt x \) υποδηλώνει μόνο θετικές τιμές, θα εξετάσουμε μόνο:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Απάντηση:

Η μόνη πραγματική λύση είναι:
\(x = \frac{1}{9}\)

Εργασμένο παράδειγμα 12: Λύστε την εξίσωση \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Κάνοντας την αλλαγή της μεταβλητής:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Παίρνουμε την εξίσωση:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\αριστερά( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\αριστερά( {2y – 3} \δεξιά)\αριστερά( {3y + 2} \δεξιά) = 0\)

Οι πιθανές τιμές του \(y\) είναι:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Από τα παραπάνω θα εξετάσουμε μόνο τη θετική λύση.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Οι λύσεις είναι \(x = 9.\)