Ορισμός εκθετικής συνάρτησης

Αναχαίτηση Θεωρία χορδών / by admin / April 02, 2023

Marco Antonio Rodriguez Andrade
Master of Mathematics, Dr. of Science

Η εκθετική συνάρτηση μοντελοποιεί διάφορα φυσικά φαινόμενα και κοινωνικές και οικονομικές καταστάσεις, γι' αυτό είναι σημαντικό να προσδιορίζονται οι εκθετικές συναρτήσεις σε διάφορα πλαίσια.

Ας θυμηθούμε ότι για έναν αριθμό ${a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa$ ορίζεται, γενικά έχουμε ότι για οποιοδήποτε \(n\ ) αριθμός φυσικός:

Στην περίπτωση $a \ne 0$, έχουμε ότι: ${a^0} = 1,\;$ στην πραγματικότητα, όταν $a \ne 0,$ έχει νόημα να κάνουμε την πράξη \ (\frac{a}{a} = 1;\) κατά την εφαρμογή του νόμου των εκθετών, έχουμε:

$\frac{a}{a} = 1$

${a^{1 – 1}} = 1$

${a^0} = 1.$

Όταν $a = 0$, ο προηγούμενος συλλογισμός δεν έχει νόημα, επομένως, η έκφραση ${0^0},$ στερείται μαθηματικής ερμηνείας.

Στην περίπτωση που $b > 0$ και είναι αλήθεια ότι ${b^n} = a,$ λέγεται ότι $b$ είναι η ν η ρίζα του $a$ και είναι συνήθως συμβολίζεται ως \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) ή $b = \sqrt[n]{a}$.

Όταν $a < 0$, δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός $b$ τέτοιος ώστε ${b^2} = a;$ επειδή ${b^2} \ge 0;\;\ ) έτσι εκφράσεις της μορφής Το \({a^{\frac{m}{n}}}$, δεν θα ληφθεί υπόψη για $a < 0.$ Στην ακόλουθη αλγεβρική παράσταση: ${a^n}$ $a Το \ ) ονομάζεται βάση και το \(n$ είναι που ονομάζεται εκθέτης, ο ${a^n}$ ονομάζεται ισχύς$\;n$ του $a$ ή ονομάζεται επίσης $a$ στην ισχύ $n,\;$se συμμορφώνονται με τους παρακάτω νόμους των εκθετών:

instagram story viewer

${a^n}{a^m} = {a^{n + m}}$	$\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}$	${\αριστερά( {{a^n}} \δεξιά)^m} = {a^{nm}} = {\αριστερά( {{a^m}} \δεξιά)^n}$
$\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}$	${a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}$	${\αριστερά( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}$
${\αριστερά( {ab} \δεξιά)^n} = {a^n}{b^n}$	${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$	${a^0} = 1$ για κάθε $a \ne 0$

Η εκθετική συνάρτηση έχει τη μορφή:

$f\αριστερά( x \δεξιά) = {a^x}$

όπου $a > 0$ είναι μια σταθερά και η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο εκθέτης $x$.

Για να κάνουμε μια ανάλυση της εκθετικής συνάρτησης, θα εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις

Περίπτωση 1 Όταν η βάση $a = 1.$

Σε αυτήν την περίπτωση, $a = 1,$ η συνάρτηση $f\left( x \right) = {a^x}$ είναι μια σταθερή συνάρτηση.

Περίπτωση 2 Όταν η βάση $a > 1$

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τα εξής:

Τιμή του $x$
$x < 0$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$1 < {a^x} < a$
$x = 1$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$a < {a^x}$

Η συνάρτηση $f\left( x \right) = {a^x}$ είναι μια αυστηρά αύξουσα συνάρτηση, δηλαδή εάν ${x_2} > {x_1}$, τότε:

${a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}$

$f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)$

Όταν ένα φαινόμενο μοντελοποιείται με μια εκθετική συνάρτηση, με $a > 1$, λέμε ότι παρουσιάζει εκθετική ανάπτυξη.

Περίπτωση 2 Όταν η βάση $a < 1$.

Τιμή του $x$
$x < 0$	${a^x} > 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$0 < {a^x} < a < 1$

Όταν $a < 1$, η συνάρτηση $f\left( x \right) = {a^x}$ είναι μια αυστηρά φθίνουσα συνάρτηση, δηλαδή εάν \({x_2} > {x_1}\ ), Έτσι:

${a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}$ $f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) $ Όταν ένα φαινόμενο είναι μοντέλα με εκθετική συνάρτηση, με $a < 1$, λέμε ότι παρουσιάζει φθορά ή μείωση εκθετικός. Το παρακάτω γράφημα απεικονίζει τη συμπεριφορά του ${a^x}$, στις τρεις διαφορετικές περιπτώσεις του.

Εφαρμογές της εκθετικής συνάρτησης

Παράδειγμα 1 Αύξηση πληθυσμού

Θα συμβολίσουμε με ${P_0}$ τον αρχικό πληθυσμό και με $r \ge 0$ τον ρυθμό αύξησης του πληθυσμού, εάν ο ρυθμός πληθυσμού παραμένει σταθερός με την πάροδο του χρόνου. η λειτουργία

$P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^t};$

Βρείτε τον πληθυσμό τη χρονική στιγμή t.

Πρακτικό παράδειγμα 1

Ο πληθυσμός του Μεξικού, το έτος 2021 είναι 126 εκατομμύρια και παρουσίασε ετήσια αύξηση 1,1%. Εάν διατηρηθεί αυτή η αύξηση, ποιος πληθυσμός θα υπάρχει στο Μεξικό το έτος 2031, το έτος 2021?

Λύση

Σε αυτήν την περίπτωση ${P_o} = 126$ και $r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0,011$, επομένως θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε:

$P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \right)^t}$

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα

Ετος	χρόνος που παρήλθε ($t$)	Υπολογισμός	Πληθυσμός (εκατομμύρια)
2021	0	$P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^0}$	126
2031	10	$P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \δεξιά)^{10}}$	140.57
2051	30	$P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \δεξιά)^{30}}$	174.95

Παράδειγμα 2 Υπολογισμός σύνθετου ενδιαφέροντος

Οι τράπεζες προσφέρουν ετήσιο επιτόκιο, αλλά το πραγματικό επιτόκιο εξαρτάται από το πόσους μήνες το επενδύετε. Για παράδειγμα, εάν σας προσφέρεται ετήσιο επιτόκιο r%, το πραγματικό μηνιαίο επιτόκιο είναι $\frac{r}{{12}}$%, το διμηνιαίο επιτόκιο είναι $\frac{r}{6}$%, το τρίμηνο είναι $\frac{r}{4}$%, το τρίμηνο είναι $\frac{r}{3}$%, και το εξάμηνο είναι $\frac{r}{2}$%.

Πρακτικό παράδειγμα 2

Ας υποθέσουμε ότι επενδύετε 10.000 σε μια τράπεζα και σας προσφέρουν τα ακόλουθα ετήσια επιτόκια:

Προθεσμιακές καταθέσεις	Ετήσιος ρυθμός	περιόδους σε ένα έτος	πραγματικό ποσοστό	Συσσωρευμένα χρήματα σε $k$ μήνες
δύο μήνες	0.55%	6	$\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}$	$10000{\αριστερά( {1 + 0.00091667} \δεξιά)^{\frac{k}{2}}}$
τρεις μήνες	1.87%	4	$\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}$	$10000{\αριστερά( {1 + 0,00461667} \δεξιά)^{\frac{k}{3}}}$
έξι μήνες	1.56%	2	$\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}$	$10000{\αριστερά( {1 + 0,0078} \δεξιά)^{\frac{k}{6}}}$

Ο αριθμός $e$, το σταθερό και συνεχές ενδιαφέρον του Euler.

Τώρα ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα αρχικό κεφάλαιο $C$ και το επενδύουμε με σταθερό επιτόκιο $r > 0$, και διαιρούμε το έτος σε $n$ περιόδους. το κεφάλαιο που συσσωρεύεται σε ένα έτος είναι ίσο με:

$A = \;C{\αριστερά( {1 + \frac{r}{n}} \δεξιά)^n}$

Για να αναλύσουμε πώς συμπεριφέρεται το συσσωρευμένο κεφάλαιο όταν το $n$, αυξάνεται, θα ξαναγράψουμε το συσσωρευμένο κεφάλαιο, σε ένα χρόνο:

$A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}$$A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},$

κάνοντας $m = \frac{n}{r}$, λαμβάνουμε:

$A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}$$A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.$

Καθώς το $n$ μεγαλώνει, τόσο μεγαλώνει το $m = \frac{n}{r}.$

Καθώς το $m = \frac{n}{r},$ μεγαλώνει, η έκφραση ${\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}$προσεγγίζει αυτό που ονομάζεται Σταθερά ή αριθμός Euler:

$e \περίπου 2,718281828 \ldots .$

Η σταθερά του Euler δεν έχει πεπερασμένη ή περιοδική δεκαδική έκφραση.

Έχουμε τις ακόλουθες προσεγγίσεις

$C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \περίπου C{e^r},$ $C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \περίπου C{e^{rs}}.$

Στην έκφραση:

$A = \;C{e^r},$

Μπορούμε να το ερμηνεύσουμε με δύο τρόπους:

1.- Ως το μέγιστο ποσό που μπορούμε να συγκεντρώσουμε σε ένα έτος όταν επενδύουμε κεφάλαιο $C,\;$ με ετήσιο επιτόκιο $r.$

2.- Ως το ποσό που θα συσσωρεύαμε, σε ένα χρόνο, εάν το κεφάλαιό μας επανεπενδυόταν συνεχώς με ετήσιο επιτόκιο $r.$

$T\αριστερά( s \δεξιά) = \;C{e^{rs}},$

είναι το ποσό που συσσωρεύεται εάν $α$ χρόνια επενδύονται με συνεχή τόκο.

Συγκεκριμένο παράδειγμα 3

Τώρα θα επιστρέψουμε σε ένα μέρος του συγκεκριμένου παραδείγματος 2, όπου το ετήσιο επιτόκιο είναι 0,55% σε διμηνιαίες δόσεις. Υπολογίστε το κεφάλαιο που συσσωρεύεται αν το αρχικό κεφάλαιο είναι 10.000 και επανεπενδύεται μισό έτος, δύο χρόνια, 28 μήνες.

$10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525$

όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας, η τιμή του $m = \frac{n}{r},$ δεν είναι "μικρή" και ο παραπάνω πίνακας υποδεικνύει ότι ${\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}$ είναι κοντά στη σταθερά του Euler.

χρόνος	Αριθμός περιόδων ($k$)	Το συσσωρευμένο κεφάλαιο, σε χιλιάδες, επανεπενδύεται κάθε δύο μήνες
Μισός χρόνος	3	$10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^3} = 10.{\rm{\;}}027525$
Δύο χρόνια	12	$10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557$
38 μηνών	19	$10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^{19}} = 10.\;175612$

χρόνος	Χρόνος ετών ($s$)	Το συσσωρευμένο κεφάλαιο, σε χιλιάδες, επενδύει με συνεχή τόκο
Μισός χρόνος	$s = \frac{1}{2}$	$10{e^{0.0055\αριστερά( {\frac{1}{2}} \δεξιά)}} = 10.{\rm{\;}}027538$
Δύο χρόνια	$s = 2$	$10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^{0.0055\αριστερά( 2 \δεξιά)}} = 10110.{\rm{\;}}607$
38 μηνών	$s = \frac{{19}}{6}$	$10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692$

Παράδειγμα 2 Απόσβεση

Πρακτικό παράδειγμα 1

Ένας υπολογιστής υποτιμάται 30% κάθε χρόνο, εάν ένας υπολογιστής κοστίζει 20.000 $ πέσος, καθορίστε την τιμή του υπολογιστή για $t = 1,12,\;14,\;38$ μήνες.

Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος έχει:

$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \right)^t}$

Με το $t$ σε έτη, αντικαθιστώντας το $t$ στον παρακάτω πίνακα δίνεται

χρόνο σε μήνες	χρόνο σε χρόνια	υπολογισμούς	Αριθμητική αξία
1	$\frac{1}{{12}}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}$	19414.289
12	1	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}$	14000
14	$\frac{7}{6}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}$	13192.012
38	$\frac{{19}}{6}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}$	6464.0859

Σύννεφο ετικετών

Εκτίμηση

Προβολές

Σχόλια

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\αριστερά( {{a^n}} \δεξιά)^m} = {a^{nm}} = {\αριστερά( {{a^m}} \δεξιά)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\αριστερά( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\αριστερά( {ab} \δεξιά)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) για κάθε \(a \ne 0\)

Τιμή του \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Τιμή του \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

χρόνος	Χρόνος ετών (\(s\))	Το συσσωρευμένο κεφάλαιο, σε χιλιάδες, επενδύει με συνεχή τόκο
Μισός χρόνος	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\αριστερά( {\frac{1}{2}} \δεξιά)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Δύο χρόνια	\(s = 2\)	\(10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^{0.0055\αριστερά( 2 \δεξιά)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 μηνών	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Ετος	χρόνος που παρήλθε (\(t\))	Υπολογισμός	Πληθυσμός (εκατομμύρια)
2021	0	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^0}\)	126
2031	10	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \δεξιά)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \δεξιά)^{30}}\)	174.95

Προθεσμιακές καταθέσεις	Ετήσιος ρυθμός	περιόδους σε ένα έτος	πραγματικό ποσοστό	Συσσωρευμένα χρήματα σε \(k\) μήνες
δύο μήνες	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\αριστερά( {1 + 0.00091667} \δεξιά)^{\frac{k}{2}}}\)
τρεις μήνες	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\αριστερά( {1 + 0,00461667} \δεξιά)^{\frac{k}{3}}}\)
έξι μήνες	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\αριστερά( {1 + 0,0078} \δεξιά)^{\frac{k}{6}}}\)

χρόνος	Αριθμός περιόδων (\(k\))	Το συσσωρευμένο κεφάλαιο, σε χιλιάδες, επανεπενδύεται κάθε δύο μήνες
Μισός χρόνος	3	\(10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Δύο χρόνια	12	\(10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 μηνών	19	\(10{\αριστερά( {1.00091667} \δεξιά)^{19}} = 10.\;175612\)

χρόνο σε μήνες	χρόνο σε χρόνια	υπολογισμούς	Αριθμητική αξία
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859