Ορισμός της Αρχής/Εξίσωσης του Bernoulli

Η Αρχή του Μπερνούλι, που συχνά αποκαλείται και Εξίσωση Μπερνούλι, είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στην υδροδυναμική και τη μηχανική των ρευστών. Διατυπώθηκε από τον Ελβετό φυσικό και μαθηματικό Daniel Bernoulli το 1738 ως μέρος της δουλειάς του "υδροδυναμική» και μέρος της διατήρησης της ενέργειας σε ένα ιδανικό ρευστό σε κίνηση.

Ας φανταστούμε την εξής κατάσταση: Έχουμε έναν εύκαμπτο σωλήνα μέσα από τον οποίο ρέει νερό, ο οποίος φεύγει από τον εύκαμπτο σωλήνα με μια συγκεκριμένη ταχύτητα και μια συγκεκριμένη πίεση. Στη συνέχεια, προχωράμε στην μερική κάλυψη της οπής εξόδου του εύκαμπτου σωλήνα με ένα δάχτυλο. Κάνοντας αυτό βλέπουμε πώς το νερό βγαίνει τώρα με μεγαλύτερη ταχύτητα. Αυτό είναι ένα παράδειγμα της αρχής του Bernoulli στην πράξη.

Ιδανικά υγρά σε κίνηση

Η αρχή του Bernoulli ισχύει για ιδανικά ρευστά σε κίνηση, επομένως πριν προχωρήσουμε στην εξήγηση αυτής της αρχής, είναι σημαντικό να αναφέρουμε τι εννοούμε με τον όρο ιδανικό ρευστό. Ένα ιδανικό ρευστό είναι η απλοποίηση ενός πραγματικού ρευστού, αυτό γίνεται λόγω της περιγραφής ενός ρευστού Το ιδανικό είναι μαθηματικά απλούστερο και μας δίνει χρήσιμα αποτελέσματα που μπορούν αργότερα να επεκταθούν στη ρευστή θήκη πραγματικός.

Υπάρχουν τέσσερις υποθέσεις που γίνονται για να θεωρηθεί ότι ένα ρευστό είναι ιδανικό και όλες έχουν να κάνουν με τη ροή:

• Σταθερή ροή: Σταθερή ροή είναι εκείνη στην οποία η ταχύτητα με την οποία κινείται το ρευστό είναι η ίδια σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Με άλλα λόγια, υποθέτουμε ότι το ρευστό δεν υφίσταται αναταράξεις.

• Ασυμπίεση: Θεωρείται επίσης ότι ένα ιδανικό ρευστό είναι ασυμπίεστο, δηλαδή ότι έχει σταθερή πυκνότητα ανά πάσα στιγμή.

• Μη ιξώδες: Το ιξώδες είναι μια ιδιότητα των ρευστών που, σε γενικές γραμμές, αντιπροσωπεύει την αντίσταση που αντιτίθεται το ρευστό στην κίνηση. Το ιξώδες μπορεί να θεωρηθεί ανάλογο με τη μηχανική τριβή.

• Αστροφική ροή: Με αυτή την παραδοχή αναφερόμαστε στο γεγονός ότι το κινούμενο ρευστό δεν εκτελεί κανενός είδους κυκλική κίνηση γύρω από κανένα σημείο της διαδρομής του.

Κάνοντας αυτές τις υποθέσεις και έχοντας ένα ιδανικό ρευστό απλοποιούμε πολύ τη μαθηματική επεξεργασία και εξασφαλίζουμε επίσης τη διατήρηση της ενέργειας, η οποία είναι η αφετηρία προς την αρχή της Μπερνούλι.

Η εξίσωση του Bernoulli εξηγείται

Ας εξετάσουμε ένα ιδανικό ρευστό που κινείται μέσω ενός σωλήνα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα Εργασίας και Κινητικής Ενέργειας, το οποίο είναι ένας άλλος τρόπος έκφρασης του Νόμου της Διατήρησης της Ενέργειας, αυτό μας λέει ότι:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Όπου \(W\) είναι το συνολικό μηχανικό έργο και \({\rm{\Delta }}K\) είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας μεταξύ δύο σημείων. Σε αυτό το σύστημα έχουμε δύο είδη μηχανικών εργασιών, ένα που γίνεται από τη δύναμη της βαρύτητας στο ρευστό και ένα άλλο που προκύπτει από την πίεση του ρευστού. Έστω \({W_g}\) το μηχανικό έργο που εκτελείται από τη βαρύτητα και \({W_p}\) το μηχανικό έργο που εκτελείται από την πίεση, τότε μπορούμε να πούμε ότι:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Δεδομένου ότι η βαρύτητα είναι μια συντηρητική δύναμη, το μηχανικό έργο που εκτελείται από αυτήν θα είναι ίσο με τη διαφορά της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας μεταξύ δύο σημείων. Το αρχικό ύψος στο οποίο βρίσκεται το ρευστό είναι \({y_1}\) και το τελικό ύψος είναι \({y_2}\), επομένως, έχουμε:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Όπου \({\rm{\Δέλτα }}m\) είναι το τμήμα της μάζας του ρευστού που διέρχεται από ένα ορισμένο σημείο και \(g\) είναι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας. Εφόσον το ιδανικό ρευστό είναι ασυμπίεστο, τότε \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Όπου \(\rho \) είναι η πυκνότητα του ρευστού και \({\rm{\Delta }}V\) είναι το τμήμα του όγκου που ρέει μέσα από ένα σημείο. Αντικαθιστώντας αυτό στην παραπάνω εξίσωση παίρνουμε:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Ας εξετάσουμε τώρα τη μηχανική εργασία που γίνεται από την πίεση του ρευστού. Πίεση είναι η δύναμη που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας, δηλαδή \(F = PA\). Από την άλλη πλευρά, η μηχανική εργασία ορίζεται ως \(W = F{\rm{\Delta }}x\) όπου \(F\) είναι η εφαρμοζόμενη δύναμη και \({\rm{\Delta }}x\) είναι η μετατόπιση που πραγματοποιείται σε αυτή την περίπτωση στον άξονα x. Σε αυτό το πλαίσιο μπορούμε να σκεφτούμε το \({\rm{\Delta }}x\) ως το μήκος του τμήματος του ρευστού που ρέει μέσα από ένα συγκεκριμένο σημείο. Συνδυάζοντας και τις δύο εξισώσεις έχουμε ότι \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Μπορούμε να συνειδητοποιήσουμε ότι \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), δηλαδή είναι το τμήμα του όγκου που ρέει από αυτό το σημείο. Επομένως, έχουμε ότι \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Στο αρχικό σημείο, γίνεται μηχανική εργασία στο σύστημα ίση με \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) και στο τελικό σημείο το σύστημα κάνει μηχανικές εργασίες στο περιβάλλον ίσο με \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Το μηχανικό έργο λόγω της πίεσης του ρευστού θα είναι τότε το έργο που γίνεται στο σύστημα μείον το έργο που κάνει στο περιβάλλον του, δηλαδή ότι:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

Τέλος, η διαφορά στην κινητική ενέργεια \({\rm{\Delta }}K\) θα είναι ίση με την κινητική ενέργεια στο τελικό σημείο μείον την κινητική ενέργεια στο σημείο έναρξης. Αυτό είναι:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\αριστερά( {v_2^2 – v_1^2} \δεξιά)\)

Από τα παραπάνω, γνωρίζουμε ότι \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Η παραπάνω εξίσωση είναι τότε ως:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Αντικαθιστώντας όλα τα αποτελέσματα που προέκυψαν στην εξίσωση εξοικονόμησης ενέργειας, προκύπτει ότι:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Μπορούμε να συνυπολογίσουμε τον όρο \({\rm{\Delta }}V\) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, αυτό οδηγεί σε:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \σωστά)\)

Αναπτύσσοντας τα προϊόντα που λείπουν πρέπει:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Αναδιατάσσοντας όλους τους όρους και στις δύο πλευρές της εξίσωσης προκύπτει ότι:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Αυτή η εξίσωση είναι μια σχέση μεταξύ της αρχικής κατάστασης και της τελικής κατάστασης του συστήματός μας. Μπορούμε τελικά να πούμε ότι:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = σταθερό\)

Αυτή η τελευταία εξίσωση είναι η εξίσωση Bernoulli από την οποία προκύπτει η αρχή της. Η Αρχή του Bernoulli είναι ένας νόμος διατήρησης για ένα ιδανικό ρευστό σε κίνηση.

βιβλιογραφικές αναφορές

David Halliday, Robert Resnick & Jearl Walker. (2011). Βασικές αρχές της Φυσικής. Ηνωμένες Πολιτείες: John Wiley & Sons, Inc.