Παράδειγμα παράλογων αριθμών

Υπάρχει μια ομάδα αριθμών που δεν μπορούν να εκφραστούν ως ακέραιοι αριθμοί, ούτε ως κλασματικοί αριθμοί με παρονομαστή διαφορετικό από το 0, αυτή η ομάδα αριθμών ονομάζεται παράλογοι αριθμοί.

Όλοι οι αριθμοί όταν προστίθενται, αφαιρούνται ή πολλαπλασιάζονται οδηγούν σε ακέραιο αριθμό, ο οποίος μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός.

Οι κλασματικοί αριθμοί εκφράζουν ένα μέρος του συνόλου, δηλαδή εκφράζουν μια διαίρεση, η οποία μπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί από ολόκληρους αριθμούς ή από άλλους κλασματικούς αριθμούς. Εκτός από τα προϊόντα μιας διαίρεσης που εκφράζεται σε κλάσμα, μπορείτε να παράγετε ένα δεκαδικό αποτέλεσμα με αριθμούς.

Ολόκληροι και κλασματικοί αριθμοί βρίσκονται εύκολα σε μια γραμμή αριθμών.

Πολλοί μαθηματικοί από την εποχή του Πυθαγόρα, συνειδητοποίησαν ότι μεταξύ των κλασματικών αριθμών υπάρχουν κενά. Ταυτόχρονα βρήκαν αποτελέσματα μαθηματικών πράξεων που δεν εκφράζουν αποτελέσματα ακριβή ή επαναλαμβανόμενα δεκαδικά, αλλά αντίθετα παρήγαγε αποτελέσματα με άπειρα δεκαδικά και δεν ακολούθησαν ένα σχέδιο. Καθώς αυτά τα αποτελέσματα δεν ακολουθούν τη θεωρία της αριθμητικής τελειότητας του Πυθαγόρα, οφείλεται σε αυτό το χαρακτηριστικό ότι δεν ακολουθούμε ένα μοτίβο που ονομάστηκαν παράλογοι αριθμοί. Βρήκαν επίσης ότι αυτοί οι αριθμοί συμπλήρωσαν τα κενά στη γραμμή αριθμών μεταξύ των κλασματικών αριθμών.

Για να εκφράσει έναν παράλογο αριθμό, γενικά αντιπροσωπεύεται ως μαθηματικός τύπος που του δίνει την προέλευσή του. Έτσι, για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού 2, το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός που δεν ακολουθεί κανένα αριθμητικό μοτίβο και των οποίων τα δεκαδικά ψηφία εκτείνονται σε άπειρο:

√2 =

Ποιο να απλοποιηθεί αντιπροσωπεύεται ως √2.

Υπάρχουν ορισμένοι παράλογοι αριθμοί στους οποίους έχουν δοθεί συγκεκριμένα ονόματα καθώς αντιπροσωπεύουν σχέσεις σταθερές, όπως η "Αρχιμήδης σταθερά", το αποτέλεσμα της διαίρεσης της περιφέρειας ενός κύκλου εισάγετε το ραδιόφωνο σας. Τον 18ο αιώνα αυτή η σταθερά ορίστηκε ως ο αριθμός pi:

 π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209…

Παραδείγματα παράλογων αριθμών και των πρώτων 20 δεκαδικών:

(pi) π = 3.14159265358979323846…

(phi, χρυσός αριθμός) φ = 1.6180339887498948482045…

(Αριθμός Euler) e = 2.7182818284590452353602…

√2 = 1.41421356237309504880…

√3 = 1.73205080756887729352…

√5 = 2.23606797749978969640…

√7 = 2.64575131106459059050…

√8 = 2.82842712474619009760…

√10 = 3.16227766016837933199…

√11 = 3.31662479035539984911…

√12 = 3.464101615137754587054…

√13 = 3.605551275463989293119…

√14 = 3.741657386773941385583…

√15 = 3.872983346207416885179…

√17 = 4.123105625617660549821…

√18 = 4.2426406871192851464050…

√19 = 4.3588989435406735522369…

√20 = 4.47213595499957939281834…

√26 = 5.099019513592784830028224…

√30 = 5.477225575051661134569697…

√35 = 5.916079783099616042567328…

√40 = 6.324555320336758663997787…

√50 = 7.071067811865475244008443…

√99 = 9.949874371066199547344798…

√101 = 10.049875621120890270219264…

√201 = 14.177446878757825202955618…

√500 = 22.360679774997896964091736…

√713 = 26.702059845637377344148367…

√888 = 29.799328851502679438663632…

√999 = 31.606961258558216545204213…