Mitteeukleidilise geomeetria definitsioon

Põhimõtteliselt on mitteeukleidilised geomeetriad need, mis tulenevad kahtluse alla seadmisest nn Eukleidese 5. postulaat, seetõttu on oluline Eukleidese töö üldine iseloomustus, kes oli Kreeka matemaatik ja geomeetria, kelle töö on paradigmaatiline. Geomeetria, pidada üheks selle asutajaks. See on kindlalt teada turvalisus kes elas umbes aastal 300 eKr Aleksandria linnas, mis oli antiikaja kultuuriline keskpunkt. c.

Tema töö Elemendid see algab rea "põhimõtetega", mis koosneb 23 määratluse loendist; millele järgneb 5 postulaati, viidates arvud konkreetselt geomeetriline; ja 5 üldist aksioomi, mis on ühised teistele matemaatikaharudele. Järgmisena, pärast põhimõtteid, tutvustab Euclid kahte tüüpi "propositsioone": probleemid, millele viidatakse

hoone figuurid reegli ja kompassiga; ja teoreemid, viidates nende omaduste demonstreerimisele, mida mõned geomeetrilised kujundid.

Eukleidese viies postulaat

Ta teatab, et "Kui sirge, mis langeb kahele teisele sirgele, muudab sama külje sisenurgad väiksemaks kui kaks sirget, siis, kui kahte joont pikendatakse lõputult, saavad nad kokku sellel küljel, mille nurgad on väiksemad kui kaks otse”. Kui nurgad oleksid õiged, siis sellised sirged oleksid definitsiooni nr 23 järgi paralleelsed ("Paralleelsed sirged on sirged, mis, kui nad on samas tasapinnas ja on lõputult pikenenud, ei kohtu üheski suunas.”).

See eelmistest keerukam postulaat ei olnud iseenesest vaieldamatu: ei olnud ilmne, et sirgeid lõputult, lõikuvad need küljel, kus nurgad on väiksemad kui kaks täisnurka, kuna seda pole võimalik tõestada hoone. Seejärel jäeti avatuks võimalus, et jooned lähenesid teineteisele lõputult, ilma et nad oleksid kunagi ristunud.

Püüab tõestada viiendat postulaati

Just sel põhjusel on antiikajast kuni 19. sajandi keskpaigani tehtud rida ebaõnnestunud katseid tõestada viiendat postulaadi: alati saadi tõestus; kuid tuues sisse mõne muu lisapostulaadi (loogiliselt samaväärne viiendaga), mis erineb Eukleidese omadest. See tähendab, et viiendat postulaati ei suudetud tõestada, vaid see asendati samaväärsega.

Selle näiteks on John Playfairi postulaat (s. XVIII): "Selle sirgega paralleelne punkt läbib punkti, mis asub väljaspool samal tasapinnal asuvat sirget." (tuntud kui "paralleelpostulaat”). Mitte-eukleidilised geomeetriad tulenevad just ebaõnnestunud katsetest tõestada Eukleidilise süsteemi viiendat postulaadi.

Saccheri absurditest

1733. aastal püüdis itaalia matemaatik Girolamo Saccheri tõestada Eukleidese viienda postulaadi absurdsust. Selleks ehitas ta nelinurga (tuntud kui "Saccheri nelinurk”, milles üks nurkade paar on täisnurgad) ja väitis, et viies postulaat on samaväärne väitega, et iseloomulikud nurgad (need, mis on täisnurga paari vastas) on ka täisnurgad. siis on kolm hüpotees võimalik, teineteist välistav: et kaks iseloomulikku nurka on täis-, terav- või nürinurka. Et tõestada viiendat postulaadi absurdiga, oli vaja tõestada (viiendat kasutamata oletatud), et nüri ja teravnurga hüpoteesid tähendasid vastuolu ja seetõttu olid need vale.

Saccheril õnnestus tõestada, et nürinurga hüpotees on vastuoluline, kuid see ei õnnestunud teravnurga puhul. Vastupidi, ta tuletas välja rea ​​teoreeme, mis olid kooskõlas Eukleidilise geomeetriaga ja sellega kokkusobimatud. Lõpuks jõudis ta järeldusele, et arvestades nende teoreemide kummalisust, peab hüpotees olema vale. Järelikult uskus ta, et oli viienda postulaadi absurdseks osutunud; aga see, mida ta tegi, tõestas tahtmatult olulist mitteeukleidilise geomeetria teoreemide kogumit.

Mitte-eukleidiliste geomeetriate "samaaegne" avastamine

Carl F. Gauss kahtlustas 19. sajandil esimesena, et viiendat postulaati ei olnud võimalik ülejäänud nelja põhjal tõestada (st et see oli sõltumatult) ja mitteeukleidilise geomeetria võimaluse väljamõtlemisel, mis põhines neljal eukleidilisel postulaadil ja selle eitamisel. viies. Ta ei avaldanud kunagi oma avastust: seda peetakse juhtumiks samaaegne avastamine, sest tal oli kolm sõltumatut referenti (Gauss ise, János Bolyai ja Nikolai Lobatševski).

Keeldumine viies seadus eukleidiline viitab kahele võimalusele (kasutades Playfairi samaväärse sõnastuse): läbi punkti, mis asub väljaspool sirgjoont, ei kulge paralleelselt läbi või läbib rohkem kui üks paralleelne. Mitteeukleidiliste geomeetriate hulgast leiame näiteks geomeetria "kujuteldavLobatševski, hiljem tuntud kui "hüperboolne"- vastavalt, "Kui sirgele on antud välimine punkt, läbivad seda punkti lõpmatud ristuvad sirged, lõpmatud mittelõikuvad sirged ja ainult kaks paralleelset sirget.”, erinevalt ainulaadsest Eukleidilise paralleelist; või Bernhard Riemanni elliptiline geomeetria, mis väidab, et "Läbi sirgest väljaspool asuva punkti ei kulge selle sirgega paralleeli.”.

Avastuse rakendused ja tagajärjed

Praegu on teada, et kohalikus ruumis annavad mõlemad geomeetriad ligikaudseid tulemusi. Erinevused ilmnevad siis, kui füüsilist ruumi kirjeldatakse ühe või teise geomeetriaga, arvestades suuri vahemaid. Kuigi me kasutame jätkuvalt eukleidilist geomeetriat, kuna see kirjeldab meie ruumi kohalikus mastaabis kõige lihtsamalt, on avastus mitteeukleidiline geomeetria oli määrav, kuivõrd see tähendas tõdede mõistmise radikaalset ümberkujundamist. teaduslik.

Kuni selle ajani arvati, et eukleidiline geomeetria kirjeldab tõeliselt ruumi. Tõestades selle kirjeldamise võimalust läbi teise geomeetria, teiste postulaatidega, tuli uuesti läbi mõelda kriteeriumid, mille alusel oli võimalik eeldada üht või teist seletust, näiteks "tõsi”.

Bibliograafia

MARTINEZ LORCA, A. (1980) „Sokratese eetika ja nende mõju arvasin Occidental”, ajakirjas Revista Baética: Estudios de Arte, Geograafia ja ajalugu, 3, 317-334. Malaga ülikool.

Mitteeukleidilise geomeetria teemad