Ekvivalentsete murdude määratlus

Kahte või enamat murdu peetakse samaväärseks, kui need esindavad sama suurust, st kui
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
murrud \(\frac{a}{b}\) ja \(\frac{c}{d}\) on samaväärsed.

Ekvivalentmurrud: graafiline esitus

Mõelge ruutule, mille jagame neljandikku, kolmandikku, kaheksandikku ja kaheteistkümnendikku.

Eelnevatelt joonistelt näeme järgmisi samaväärsusi:

Kuidas saada üht või mitut samaväärset murdosa?

Antud murdarvuga samaväärse murdosa saamiseks on kaks põhimeetodit.

1. Korrutage lugeja ja nimetaja sama positiivse arvuga.

Näited:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. See on jagatud lugeja ja nimetaja sama positiivse ühisjagajaga.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Kui murdos jagatakse nii lugeja kui ka nimetaja sama ühise jagajaga peale 1, siis öeldakse, et murdosa on vähendatud.

taandamatuid murde

Murru nimetatakse taandamatuks murruks, kui lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja on võrdne 1-ga.

Kui \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\), nimetatakse murdu \(\frac{a}{b}\) taandamatuks murdeks.

Selle murdosaga võrdväärse murdosa saamiseks on antud murd \(\frac{a}{b}\), mis on samuti taandamatu murd, lugeja ja lugeja jagatakse arvude \(a\;\) ja suurima ühisjagajaga \(b.\)

Järgmises tabelis on näited taandamatute ja taandatavate murdude kohta; kui see on taandatav, näitab see, kuidas saada taandamatu ekvivalentmurd.

Murd	Suurim ühine jagaja	Vähendamatu	taandamatu ekvivalentmurd
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Ei	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Jah	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Ei	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Jah	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Ei	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Ekvivalentmurrud: verbaalne esitus.

Järgmine tabel näitab kahte erinevat viisi samaväärse teabe kuvamiseks numbrilisest vaatepunktist.

Verbaalne fraas	Samaväärne fraas (numbriliselt)	Argumenteerimine
1930. aastal rääkis Mehhikos emakeelt 4 inimest 25-st.	1930. aastal rääkis Mehhikos emakeelt 16 inimest 100-st.	Mõlemad andmed korrutati 4-ga
1960. aastal rääkis Mehhikos emakeelt 104 inimest 1000-st.	1960. aastal rääkis Mehhikos emakeelt 13 inimest 125-st.	Mõlemad andmed jagati 8-ga.

Ekvivalentmurrud: kümnendmurrud

Allolevas tabelis on näidatud erinevad kümnendarvud ja samaväärsed murrud, mis neid esindavad.

Kümnendarv	Murd	ekvivalentne murd	Operatsioonid
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Ekvivalentmurrud: esitus protsendina

Allolevas tabelis on näidatud erinevad kümnendarvud ja samaväärsed murrud, mis neid esindavad.

Kümnendarv	Murd	ekvivalentne murd	Operatsioonid
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Ekvivalentsed fraktsioonid: heterogeensetest homogeenseteks

Arvestades kahte heterogeenset murdu \(\frac{a}{b}\) ja \(\frac{c}{d}\), leiame kaks murdu homogeenne nii, et üks murd on samaväärne murdosaga \(\frac{a}{b}\;\) ja teine \(\frac{c}{d}\).

Järgmisena näitame kahte protseduuri eelmises lõigus mainitute teostamiseks.

Jälgime:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Järgmises tabelis on mõned näited.

F. heterogeenne	Operatsioonid	F. homogeenne
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Selle meetodi puuduseks on see, et protsessi käigus saab toota väga suuri numbreid; Paljudel juhtudel on seda võimalik vältida, kui arvutada nimetajate väikseim ühiskordne ja teine ​​meetod põhineb vähima ühiskordse arvutamisel.

Vähim ühiskordaja murdude arvutamisel

Järgmisena kahe näite kaudu, kuidas saada homogeenseid murde, kasutades nimetajate väikseimat ühiskorda, mis on asjaomaste murdude ühisnimetaja.

Mõelge murdudele: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

\(12\) ja \(18\) vähim ühiskordne on \(36\); nüüd

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Mõelge nüüd murdudele: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

\(10\), \(14\) ja \(3\) vähim ühiskordne on \(140\); nüüd

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Eelnevatelt joonistelt märkame järgmist fakti:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Siin on muid näiteid.

F. heterogeenne	min ühised nimetajad	Operatsioonid	F. homogeenne
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)