Kuidas on määratletud Thalese teoreem?

Thalese teoreemist, kui on antud mitu paralleelset sirget, öeldakse, et sirge \(T\) on paralleelsete sirgetega risti, kui see lõikab iga paralleelset sirget.

Joonisel 1 on jooned \({T_1}\) ja \({T_2}\) risti paralleelsete joontega \({L_1}\) ja \({L_2}.\)

Thalese teoreem (nõrk versioon)
Kui mitu paralleeli määravad ühes oma kahest ristsirgest kokkulangevad lõigud (mis mõõdavad sama), määravad nad ka teistes ristsirgetes kongruentsed lõigud.

Joonisel 2 on mustad jooned paralleelsed ja peate:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Saame tagada järgmise:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Väidetavalt mõõtis tark Thales of Miletos Cheopsi püramiidi kõrgust, selleks kasutas ta varje ja kolmnurga sarnasusomaduste rakendamist. Thalese teoreem on kolmnurkade sarnasuse kontseptsiooni väljatöötamisel põhiline.

Proportsioonide suhted ja omadused

Üks suhe on kahe arvu jagatis, mille jagaja ei ole null; see tähendab:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{koos\;}}b \ne 0\)

Proportsioon on kahe suhte võrdsus, see tähendab:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) nimetatakse ka proportsionaalsuse konstandiks.

Proportsioonide omadused

Kui \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), siis \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

näiteid

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{{15–9}}{{40–24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Segmendipaar \(\overline {AB} \) ja \(\overline {CD} \) on võrdeline segmentidega \(\overline {EF} \) ja \(\overline {GH} \) kui proportsioon on täidetud:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Kus \(AB\;\) tähistab segmendi pikkust \(\overline {AB} .\)

Thalese teoreem

Definitsiooni juurde tagasi pöördudes määravad mitmed paralleelid oma põikijoontes proportsionaalsed vastavad lõigud.

Joonisel 3 on sirgjooned paralleelsed ja saame tagada:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Pangem tähele, et kaks esimest eelmist proportsiooni on samaväärsed järgmiste proportsioonidega:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Ülevast saame:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Paljudel juhtudel on parem töötada eelmiste proportsioonidega ja sel juhul:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Thalese teoreemi vastupidine

Kui mitu sirget määravad oma ristsirgetes proportsionaalsed vastavad lõigud, on sirged paralleelsed

Kui joonisel 4 on see täidetud

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Seejärel võime kinnitada, et: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Tähistus \({L_1}\parallel {L_2}\), loetud \({L_1}\) on paralleelne \({L_2}\).

Eelmisest proportsioonist saame:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Segmendi jagamine mitmeks võrdse pikkusega osaks

Konkreetse näite kaudu illustreerime, kuidas segmenti jagada võrdse pikkusega osadeks.

Jagage segment \(\overline {AB} \) 7 võrdse pikkusega segmendiks

Esialgne olukord

Joonistage abijoon, mis läbib segmendi ühte otsa

Abijoonele tõmmatakse kompassi toel 7 võrdse pikkusega segmenti

Joonistage joon, mis ühendab viimase joonistatud segmendi ja jagatava lõigu teise otsa

Need tõmmatakse paralleelselt viimase just tõmmatud joonega, mis läbivad punkte, kus ümbermõõdu kaared ristuvad abijoonega.

Kui anda segment \(\ülejoon {AB} \), siis öeldakse, et segmendi punkt \(P\) jagab lõigu \(\ülejoon {AB} \) suhtega \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Segmendi jagamine etteantud suhtega

Antud on segment \(\overline {AB} \) ja kaks positiivset täisarvu \(a, b\); punkti \(P\), mis jagab lõigu suhtega \(\frac{a}{b};\;\), võib leida järgmiselt:

1. Jagage segment \(\overline {AB} \) võrdse pikkusega segmentideks \(a + b\).
2. Võtke \(a\) lõigud, mis loendavad punktist \(A\).

näiteid

Lõigu \(\overline {AB} \) jagamine suhtega \(\frac{a}{b}\)

Põhjus	Osade arv, milleks segment on jagatud	Punkti asukoht \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Thalese teoreemi rakendusnäited

rakendus 1: Kolm krunti ulatuvad Soli tänavast Luna tänavani, nagu on näidatud joonisel 5.

Külgmised piirid on lõigud, mis on risti Luna tänavaga. Kui Soli tänava kruntide kogu fassaad on 120 meetrit, määrake iga krundi fassaad sellel tänaval, kui see on teada ka:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Probleemipüstituses

Kuna jooned on Luna tänavaga risti, siis on nad üksteisega paralleelsed, saame Thalese teoreemi rakendamisel kinnitada:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Ülaltoodust võime järeldada:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Samamoodi võime järeldada:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Lahendus

Proportsionaalsuse konstandi \(k,\) määramiseks kasutame proportsioonide omadusi:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Ülaltoodust saame:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\left( {10} \right) = 12.\)

Analoogiliselt:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Vastus

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Pikkus	12 m	48m	24m	36 m

rakendus 2: Graafiline disainer on kujundanud rööpkülikukujulise riiuli ja paigutab 3 riiulit, nagu näidatud Joonis 6, punktid E ja F on külgede \(\overline {AD} \) ja \(\overline {BC} ,\) keskpunktid. vastavalt. Riiulites tuleb teha sisselõikeid, et saaks teha kooste. Millises riiuliosas tuleks lõiked teha?

Probleemi avaldus: Tulenevalt ülesandes toodud tingimustest on täidetud:

\(ED = EA = CF = BF\)

Abikonstruktsioonidena pikendame külgi \(\overline {CB} \) ja \(\overline {DA} \). Läbi punkti A läbi \(A\) tõmmatakse joon paralleelselt küljega \(\ülejoon {EB} \) ja läbi punkti \(C\;\) tõmmatakse joon paralleelselt küljega \(\ülejoon {DF} \).

Kasutame Thalese teoreemi vastupidist näitamaks, et lõigud \(\overline {EB} \) ja \(\overline {DF} \) on paralleelsed, et rakendada Thalese teoreemi.

Lahendus

Konstruktsiooni järgi on nelinurk \(EAIB\) rööpkülik, nii et meil on EA=BI, kuna need on rööpküliku vastasküljed. Nüüd:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Rakendades Thalese teoreemi pöördarvu, võime järeldada:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Võttes lõigud \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) ja lõigud BC ja CI nende ristsuunadena; nagu:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Võttes risttekstideks \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) ja segmendid \(\overline {AC} \) ja \(\overline {EB} \), saame:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Samamoodi on näidatud, et:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Vastused

Diagonaalsed lõiked \(\overline {AC} \) tuleb teha punktides \(G\;\) ja \(H\), nii et:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Sama kehtib riiulite \(\overline {EB} \) ja \(\overline {DF} \) kohta.