Ei-euklidisen geometrian määritelmä

Pohjimmiltaan ei-euklidiset geometriat ovat niitä, jotka syntyvät kyseenalaistamalla ns Eukleideen 5. postulaattiSiksi Eukleideen työn yleinen luonnehdinta on välttämätöntä. Hän oli kreikkalainen matemaatikko ja geometri, jonka työ on paradigmaattista Geometria, jota pidetään yhtenä sen perustajista. Se tiedetään varmasti turvallisuus joka asui Aleksandrian kaupungissa, joka oli antiikin kulttuurikeskus, noin vuonna 300 eaa. c.

Hänen työnsä Elementit se alkaa "periaatteiden" sarjalla, joka koostuu 23 määritelmän luettelosta; jota seuraa 5 postulaattia, jotka viittaavat

lukuja erityisesti geometrinen; ja 5 yleistä aksioomaa, jotka ovat yhteisiä muille matemaattisille tieteenaloille. Seuraavaksi periaatteiden jälkeen Euclid esittelee kahden tyyppiset "ehdotukset": ongelmat, joihin viitataan rakennus hahmot säännöllä ja kompassilla; ja lauseet, jotka viittaavat joidenkin ominaisuuksien osoittamiseen geometrisia kuvioita.

Eukleideen viides postulaatti

Hän toteaa, että "Jos kahdelle muulle suoralle osuva suora tekee saman puolen sisäkulmat pienemmäksi kuin kaksi suoraa, sitten, jos näitä kahta viivaa jatketaan loputtomasti, ne kohtaavat sillä puolella, jolla kulmat ovat pienempiä kuin kaksi suoraan”. Jos kulmat olisivat oikeat, niin tällaiset suorat määritelmän nro 23 mukaan olisivat yhdensuuntaisia ​​("Rinnakkaisviivat ovat linjoja, jotka, jos ne ovat samassa tasossa ja jatkuvat loputtomasti, eivät kohtaa mihinkään suuntaan.”).

Tämä edellisiä monimutkaisempi postulaatti ei sinänsä ollut kiistaton: ei ollut ilmeistä, että pidennys viivoja loputtomasti, ne leikkaavat sillä puolella, jossa kulmat ovat pienempiä kuin kaksi suoraa kulmaa, koska sitä ei olisi mahdollista todistaa rakennus. Sitten jätettiin avoimeksi mahdollisuus, että linjat lähestyivät toisiaan loputtomasti risteämättä.

Yritetään todistaa viides postulaatti

Tästä syystä antiikista 1800-luvun puoliväliin asti oli sarja epäonnistuneita yrityksiä todistaa viides postulaatti: todiste saavutettiin aina; mutta ottamalla käyttöön jonkin muun lisäpostulaatti (loogisesti vastaava viides), joka poikkeaa Eukleideen väitteistä. Eli viidettä postulaattia ei voitu todistaa, vaan se korvattiin vastaavalla.

Esimerkki tästä on John Playfairin postulaatti (s. XVIII): "Yksi tämän suoran suuntainen piste kulkee samassa tasossa olevan suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta." (tunnetaan "rinnakkainen postulaatti”). Ei-euklidiset geometriat syntyvät juuri epäonnistuneista yrityksistä todistaa euklidisen järjestelmän viides postulaatti.

Saccherin absurditesti

Vuonna 1733 italialainen matemaatikko Girolamo Saccheri yritti todistaa Eukleideen viidennen postulaatin absurdiuden. Tätä varten hän rakensi nelikulmion (tunnetaan nimellä "Saccherin nelikulmio”, jossa yksi kulmapari on suoria kulmia) ja totesi, että viides postulaatti vastaa väitettä, että ominaiset kulmat (suorakulmaparia vastapäätä olevat) nelikulmion ovat myös suoria kulmia. sitten niitä on kolme hypoteesi mahdollista, toisensa poissulkevaa: että kaksi ominaiskulmaa ovat suorat, terävät tai tylpät. Viidennen postulaatin todistamiseksi absurdilla oli todistettava (turvautumatta viidenteen oletetaan), että tylpän ja terävän kulman hypoteesit merkitsivät ristiriitaa ja siksi ne olivat väärä.

Saccheri onnistui todistamaan, että tylppäkulman hypoteesi on ristiriitainen, mutta hän ei onnistunut terävän kulman tapauksessa. Päinvastoin, hän päätteli joukon lauseita, jotka olivat yhdenmukaisia ​​ja yhteensopimattomia euklidisen geometrian kanssa. Lopuksi hän päätteli, että ottaen huomioon näiden lauseiden omituisuus, hypoteesin täytyy olla väärä. Tämän seurauksena hän uskoi osoittaneensa viidennen postulaatin absurdiksi; kuitenkin, mitä hän teki, oli tahattomasti todistaa tärkeän joukon ei-euklidisen geometrian lauseita.

Ei-euklidisten geometrioiden "samanaikainen" löytö

Carl F. Gauss oli 1800-luvulla ensimmäinen, joka epäili, että viidettä postulaattia ei voitu todistaa neljästä muusta (eli että se oli itsenäisesti) ja ajatellen ei-euklidisen geometrian mahdollisuutta, joka perustui neljään euklidiseen postulaattiin ja sen negaatioon. viides. Hän ei koskaan julkaissut löytöään: tätä pidetään tapauksena samanaikainen löytö, koska hänellä oli kolme itsenäistä referenttiä (Gauss itse, János Bolyai ja Nikolai Lobatševski).

Kieltäminen viides laki Euklidinen tarkoittaa kahta mahdollisuutta (ottamalla käyttöön Playfairin vastaavan muotoilun): suoran ulkopuolisen pisteen läpi joko ei yhdensuuntaisia ​​kulmia tai useampi kuin yksi yhdensuuntainen kulku. Ei-euklidisten geometrioiden joukosta löytyy esimerkiksi geometria "kuvitteellinenLobachevsky, joka tunnettiin myöhemmin nimellä "hyperbolinen"- mukaan, "Jos viivan ulkopiste on annettu, sen läpi kulkee äärettömät leikkaavat suorat, äärettömät ei-leikkaavat suorat ja vain kaksi yhdensuuntaista suoraa.”, toisin kuin ainutlaatuinen euklidinen rinnakkaisuus; tai Bernhard Riemmannin elliptinen geometria, joka sanoo, että "Suoran ulkopuolisen pisteen läpi ei kulje yhdensuuntaista suoraa.”.

Löydön sovellukset ja seuraukset

Tällä hetkellä tiedetään, että paikallisessa avaruudessa molemmat geometriat antavat likimääräisiä tuloksia. Erot ilmenevät, kun fyysistä tilaa kuvataan yhdellä tai toisella geometrialla, kun otetaan huomioon suuret etäisyydet. Vaikka käytämme edelleen euklidista geometriaa, koska se on se, joka yksinkertaisesti kuvaa avaruuttamme paikallisessa mittakaavassa, löytö ei-euklidisten geometrioiden ratkaiseminen oli ratkaisevaa, koska se merkitsi radikaalia muutosta totuuksien ymmärtämisessä tieteellinen.

Siihen asti euklidisen geometrian uskottiin todella kuvaavan avaruutta. Kun todistettiin mahdollisuus kuvata se toisella geometrialla, muilla oletuksilla, oli tarpeen miettiä uudelleen kriteerit, joilla oli mahdollista olettaa yksi tai toinen selitys, kuten "totta”.

Bibliografia

MARTINEZ LORCA, A. (1980) "Sokrateen etiikka ja niiden vaikutus ajattelin Occidental”, teoksessa Revista Baética: Estudios de Arte, Maantiede ja History, 3, 317-334. Malagan yliopisto.

Ei-euklidisen geometrian aiheita